Denomina-se progressão aritmética (PA)

Progressão Aritmética

Denomina-se progressão aritmética (PA) a sequência em que cada termo, a partir do segundo, é obtido adicionando-se uma constante r ao termo anterior. Essa constante r chama-se razão da progressão aritmética.

A sequência (2,7,12,17) é uma progressão aritmética finita de razão 5 pois:

a1 = 2

a2 = 2+5 = 7

a3 = 7 +5 = 12

a4 = 12 + 5= 17

As progressões aritméticas podem ser classificadas de acordo com o valor da razão r.

Se r > 0, então a PA é crescente.

Se r = 0, então a PA é constante.

Se r < 0, a PA é decrescente

Termo geral da PA

A partir da definição, podemos escrever os elementos da PA(a1, a2, a3, ..., an ) da seguinte forma:

a1 = a1

a2 = a1 + r

a3 = a2 + r = a1 + 2r

O termo em geral de uma PA é dado, portanto, pela fórmula:

an = a1+(n-1)r

Propriedades de uma PA

Em uma PA qualquer, de n termos e razão r, podemos observar as seguintes propriedades:

- Qualquer termo de uma PA, a partir do segundo, é a média aritmética entre o anterior e o posterior.

Observe a propriedade na PA (2,5,8,11)

- A soma de dois termos eqüidistantes dos extremos é igual à soma dos extremos.

Na PA (1,3,5,7,9,11,13,15,17,19,21,23), temos:

3+21 = 1+23 = 24

5+19 = 1+23 = 24

7+17 = 1+23 = 24

9+15 = 1+23 = 24

11+13 = 1+23 = 24

Se ocorrer que uma PA tenha número de termos ímpar, existirá um termo central que será a média aritmética dos extremos desta PA. Veja por exemplo que na PA (1,4,7,10,13,16,19) tem 7 termos e que o termo central é 10 logo:

Soma dos termos de uma PA finita

É dada pela fórmula: