ESTUDO DOS MODOS DE VIBRAÇÃO DE UMA VIGA BI APOIADA ATRAVÉS DA SOLUÇÃO DA EQUAÇÃO HOMOGENEA CARACTERÍSTICA DA ANALISE DINÂMICA

ESTUDO DOS MODOS DE VIBRAÇÃO DE UMA VIGA BI APOIADA ATRAVÉS DA SOLUÇÃO DA EQUAÇÃO HOMOGENEA CARACTERÍSTICA DA ANALISE DINÂMICA

Roberto Ferreira da Silva

([e-mail])

Luiz Gabriel de Jesus Coutinho

([e-mail])

Pedro Ricardo Carrias de Carvalho

([e-mail])

Resumo

Será analisado um elemento de viga segunda a teoria clássica de Euler-Bernoulli sobre a esfera da dinâmica estrutural na qual se fundamenta da consideração de que forças exteriores são variáveis ao longo do tempo. Consequentemente, as deformações e as tensões também variam com o tempo, levando a uma análise do tipo dinâmica, em que, além da rigidez da estrutura, se deve levar em consideração juntamente as características inerciais. Salientando que foge do escopo do trabalho adentrar ao campo amplo da análise dinâmica de estruturas, portanto serão apresentados teoremas e fundamentos que regem os principais casos da sua aplicabilidade para o posterior estudo da análise estrutural, dispondo do princípio do método dos elementos finitos assim como de Hamilton, pressupondo um elemento com uma deslocabilidade no eixo longitudinal em ambos nós, sendo obtidas assim, as propriedades inerciais dos elementos estruturais e as equações do movimento da estrutura fazendo as considerações de um sistema livre de forças exteriores sem amortecimentos. Serão aplicados posteriormente os resultados em quatro comprimentos de vigas, notando-se que há uma relação inversamente proporcional entre as frequências naturais e os comprimentos, também se usou como referência a norma brasileira (NBR ABNT 6118).

Palavras-chave: Viga. Análise Dinâmica.

Introdução

Na medida em que avançam os estudos tecnológicos dentre a construção civil, é possível um maior entendimento do comportamento de uma determinada estrutura ou elemento submetido às solicitações de carregamentos e demais condições na qual a mesma estará a sujeita de acordo com sua finalidade projetada.  Com isso se desenvolveu a popularidade de estruturas esbeltas demandando uma análise mais criteriosa, fazendo necessário realizar além do estudo estático, mas também o dinâmico, pois os efeitos dos carregamentos dinâmicos são mais expressivos.

Os principais carregamentos dinâmicos em estruturas são gerados por terremotos, abalos sísmicos e semelhantes além de ventos e tufões, também existem outras forças que promovem efeitos dinâmicos como choques mecânicos, motores com rotações periódicas e vibrações causadas por impacto de maquinário em solos. No entanto, as cargas dinâmicas resultantes da ação de ventos são as mais relevantes na concepção de projetos.

Se tem como um importante parâmetro sendo significativo para uma estrutura influenciando a sua resposta dinâmica, é a frequência natural de vibração. E por ela é possível fazer considerações como: se o intervalo de tempo de duração de uma carga for relativamente maior em comparação a frequência natural da estrutura, logo poderá desprezar qualquer efeito dinâmico e a carga poderá ser considerada estática, mas se o contrário for verificado, os efeitos dinâmicos deverão ser considerados.

Na dinâmica das estruturas se tem os estudos para fenômenos diferentes sujeitos ao tempo, como exemplo, a vibração, correspondendo a qualquer movimento que se repete em um intervalo de tempo, ou pode-se definir vibração como oscilações de um sistema acerca de sua posição de equilíbrio (WANG et al., 2014).

As vibrações podem ser classificadas a partir da causa do seu início, sendo vibração livre ocorrendo com a ausência de forças, um sistema nessas condições vibrará de acordo com a sua frequência natural, e vibração forçada, em ocorre quando o sistema está sob a ação de uma força externa, força essa que pode, ou não, ser periódica.

Além de uma vibração ser classificada de acordo com a aplicação de forças externas a ela, também pode ser classificado em amortecido e não-amortecido. O amortecimento do sistema se deve pela dissipação de energia causada por ações como o atrito com o ambiente externo, acarretando uma diminuição gradual da amplitude e da oscilação do movimento. Já os sistemas não-amortecidos sendo estes pouco vistos na prática da engenharia, corresponde apenas a um efeito teórico, que pode ser reproduzido em procedimentos experimentais de laboratório, porém se faz essencial para o entendimento de situações limites (ROEHL, 2005).

Portanto, dentre os diversos sistemas estruturais, será feito no presente trabalho uma análise no comportamento de vigas, com condições de contorno bi rotuladas sujeitas a deslocamentos axiais, para avaliação quanto aos seus modos de vibração.

2 Princípios de energia na análise dinâmico

Considerando um sólido deformável, submetido a um sistema de cargas variáveis ​​com o tempo, que em geral será: forças de volume, forças de superfície, e forças pontuais.

O campo de deslocamento dentro do sólido também é variável  e gera campos de tensões e tensões unitárias.[pic 1]

A partir do princípio D'Alembert, as forças de inércia  são aplicadas ao sólido produzidas pelas acelerações  e massa especifica , (Dvorak 2005) e (Haken 2005) se dedicaram ao estudo da mecânica Lagrangiana, e com seus trabalhos pode-se considerar equivalente a forças distribuídas uniformemente por todo o volume do sólido tendo valor:[pic 2][pic 3][pic 4]

[pic 5]

Equação 1

Lizarza descreveu a equação de equilíbrio de um elemento sólido para um caso estático, sendo feita as suposições para o caso dinâmico, precisando incluir entre as forças de volume , a força de inercia. E com o mesmo processo, obtêm-se a seguinte equação:[pic 6]

[pic 7]

Equação 2

3 Princípio do trabalho virtual

É aplicado sobre o sólido no seu campo de deformação  uma variação virtual, sendo o trabalho virtual produzido pelas forças de volume e de superfície:[pic 8]

[pic 9]

Equação 3

 O trabalho virtual causado pelas forças de inercia  é representado pela equação [4].[pic 10]

[pic 11]

Equação 4

A partir do princípio dos trabalhos virtuais, em que para haver equilíbrio, o trabalho virtual das forças deve ser equivalente a variação da energia elástica  acumulada no elemento, para qualquer . Assim tem-se a equação [5].[pic 12][pic 13]