Exercício de Revisão Controle Dinâmico - Anhanguera 4°B

Exercícios de revisão – Controle Dinâmico – 2006/01

1. Determine a matriz de transferência do sistema:

[pic 1]

1. Uma representação em espaço de estados possível para o sistema massa-mola-amortecedor da figura é dado por:

[pic 2]

[pic 3]

considerando como variáveis de estado :

[pic 4]

Nesta representação, [pic 5] e [pic 6].

Qual é a matriz de transformação T necessária para que o sistema passe a ser representado pelos estados [pic 7] e [pic 8] ?

Solução: Observe que deseja-se obter a matriz de transformação T tal que [pic 9]. Conhecendo-se esta transformação, sabemos que o sistema com as novas variáveis de estado pode ser determinado a partir das matrizes A, B, C e D do sistema original a partir de:

[pic 10]

Veja que a relação entre as variáveis de estado é dada por: x’1(t) = k z(t) = k x1(t) e x’2(t) = m z(t) = m x1(t). Em forma de matriz:

[pic 11]

Portanto, as novas matrizes A, B, C e D são determinadas a partir de:

[pic 12]

[pic 13] [pic 14]

[pic 15]

[pic 16]

[pic 17]

1. Para o mesmo sistema massa-mola-amortecedor do exemplo anterior, (a) determine a matriz de transição de estados Φ(t) = e A t ; (b) determine a expressão da resposta x(t) deste sistema.

Solução: (a) Vimos que e A t = L −1[(sI−A) −1]. Assim:

[pic 18]

[pic 19]

[pic 20]

[pic 21]

(b) E como fica a resposta x(t) deste sistema?

Sabemos que a solução à equação de estado é [pic 22]dada por:

[pic 23] [pic 24][pic 25][pic 26][pic 27][pic 28]

[pic 29][pic 30]

Portanto, para determinar a resposta no tempo x(t) em qualquer tempo, basta que conheçamos:

1. As condições inciais x(0);
2. As entradas u(t);
3. A matriz de transição de estados Φ(t) = e A t .

→ A matriz de transição de estados Φ(t) = e A t relaciona os estados em um tempo inicial (t = 0) a qualquer tempo final, t. Ou seja, relaciona a transição de estados de um tempo a outro; daí ser chamada de matriz de transição de estados em um sistema LIT.

1. Dado um sistema descrito em espaço de estados, definido pelas matrizes A e B seguintes, determine valores de a que resultam em um sistema não-controlável.

[pic 31]

Solução:

[pic 32]            [pic 33][pic 34][pic 35][pic 36]

Para que o sistema seja não controlável, a matriz de controlabilidade deve ter posto < n = 2. Neste caso, deve-se ter det (MC) = 0.

[pic 37][pic 38]

Neste caso, a matriz MC terá posto < 2 para a = 0 e para a = 1.

1. O sistema definido pelas matrizes A e B a seguir é de estado completamente controlável?

[pic 39]

[pic 40][pic 41][pic 42]

→ O posto de MC = 1 < n, portanto o sistema não é de estado completamente controlável.

1. O sistema definido pelas matrizes A e B a seguir é de estado completamente controlável?

[pic 43]             [pic 44][pic 45][pic 46]

[pic 47] → O posto de MC = 2 = n, portanto este sistema é de estado completamente controlável.[pic 48]

1. Vimos que, se a resposta ao impulso de um sistema é h(t), isto é, para uma entrada u(t) = δ(t) ⇒ y(t) = h(t), então a resposta y(t) a uma entrada arbitrária u(t) é dada pela integral de convolução:

[pic 49]

No domínio da freqüência, U(s) = L [δ(t)] = 1 ⇒ Y(s) = G(s)U(s) = G(s), onde G(s) é a função de transferência do sistema. Em outras palavras, para uma entrada do tipo impulso, u(t) = δ(t) ou U(s) = 1, a saída Y(s) é igual à função de tranferência do sistema. Assim, L [h(t)] = G(s) e L−1[G(s)] = h(t). Isto é, a transformada de Laplace da resposta ao impulso é a função de transferência do sistema.