Fisica 2: Trabalho e energia

ETAPA 3 - Trabalho e energia

Essa etapa é importante para aprender a calcular a energia de um sistema de partículas e a aplicar o teorema do trabalho e energia cinética a esse sistema, além da aplicação de um modelo.

Passo 1

Determinar (usando a equação clássica Ec = 0,5mv2) quais são os valores de energia cinética Ec de cada próton de um feixe acelerado no LHC, na situação em que os prótons viajam às velocidades: v1 = 6,00 x 107 m/s (20% da velocidade da luz), v2 = 1,50 x 108 m/s (50% da velocidade da luz) ou v3 = 2,97 x 108 m/s (99% da velocidade da luz).

Dados:

v1 = 6x107 m/s

v2 = 1,5x108 m/s

v3 = 2,97x108 m/s

mp = 1,67x10-27 kg

Resolução:

Ec = 0,5mv2

Ec1 = 0,5.1,67.10-27.6.107

Ec1 = 5,01.10-20 J

Ec2 = 0,5.1,67.10-27.1,5.108

Ec2 = 1,2525.10-19 J

Ec3 = 0,5.1,67.10-27.2,97.108

Ec3 = 2,48.10-19 J

Passo 2

Sabendo que para os valores de velocidade do Passo 1, o cálculo relativístico da energia cinética nos dá: Ec1 = 3,10x10-12 J, Ec2 = 2,32x10-11 J e Ec3 = 9,14x10-10 J, respectivamente; determinar qual é o erro percentual da aproximação clássica no cálculo da energia cinética em cada um dos três casos e o que se pode concluir.

Erro(%) = {|Ecclássica - EcRelativística|.100} / EcRelativística

Ecr1 = 3,1.10-12 J

Erro1(%) = {|5,01.10-20 - 3,1.10-12|.100}/3,1.10-12 = 99,99%

Ecr2=2,32.10-11J

Erro2(%)={|1,2525.10-19 - 2,32.10-11|.100}/2,32.10-11= 99,99%

Ecr3=9,14.10-10J

Erro3(%)= {|2,48.10-19 - 9,14.10-10|.100}/9,14.10-10 = 99,99 %

Conclusão:

Pode-se concluir após estes cálculos que os valores clássicos de energia cinética comparado com os valores de energia cinética relativa aos dados terão o erro percentual de praticamente 100%.

Passo 3

Considerando uma força elétrica Fe = 1,00 N (sobre os 1 x 1015 prótons do feixe), determinar qual é o trabalho realizado por essa força sobre cada próton do feixe, durante uma volta no anel acelerador, que possui 27 km de comprimento.

Dados:

Fe = 1N

∆x = 27 km

n = 1015 prótons

Resolução

Fep = Fe/n = 1/1015 = 10-15 N

W = Fep.∆x = 10-15.27.103 = 27.10-12J

Passo 4

Determinar qual é o trabalho W realizado pela força elétrica aceleradora Fe, para acelerar cada um dos prótons desde uma velocidade igual a 20% da velocidade da luz até 50% da velocidade da luz, considerando os valores clássicos de energia cinética, calculados no passo 1. Determinar também qual é a potência média total P dos geradores da força elétrica (sobre todos os prótons), se o sistema de geração leva 5 μs para acelerar o feixe de prótons de 20% a 50% da velocidade da luz.

Dados:

Ec1 = 5,01.10-20J

Ec2 = 1,2525.10-19 J

W - ?

P - ?

t = 5µs

Resolução:

W = Ec2 - Ec1 = 1,2525.10-19 - 5,01.10-10

W =

0,501.10-9 J

P = W/t = 0,501.10-9/5.10-6 = 100,2 µw

ETAPA 4 - Conservação do Momento Linear

Essa etapa é importante para aprender a determinar o centro de massa de um sistema de partículas. Usar também os princípios de conservação da energia que ocorre a colisão entre os dois feixes acelerados, uma série de fenômenos físicos altamente energéticos é desencadeada.

Passo 1

Nesse e nos próximos passos, iremos trabalhar na condição em que os feixes possuem velocidades de até 20% da velocidade da luz, para que possamos aplicar os cálculos clássicos de momento. Determinar a posição do centro de massa do sistema composto por um feixe de prótons (P) que irá colidir com um feixe de núcleos de chumbo (Pb), no interior do detector ATLAS, supondo que ambos os feixes se encontram concentrados nas extremidades opostas de entrada no detector, com uma separação de 46 m entre eles. O feixe de prótons possui 1 J 1015 prótons, enquanto o de chumbo possui 3 xJ1013 núcleos. Lembrar-se de que a massa de cada núcleo de chumbo vale 207 vezes a massa de um próton.

Calculo de massa de prótons

mP=1x1015x1,67x10-27

mP=1,67x10-12kg

Calculo de massa de núcleos de chumbo

mPb=207x1,67x10-12

mPb=345,69x10-12kg

Posição do centro de massa do sistema

Cm=1,67x10-12.0+345,69x10-12.461,67x10-12+345,69x10-12

Cm=15901,74x10-12347,36x10-12

Cm=45,78m

Passo 2

Calcular o vetor momento linear total p de cada feixe, sendo as velocidades escalares vP = 6,00 x 107 m/s e vPb = 5,00 x 107 m/s e em seguida calcular o valor do momento linear total P do sistema de partículas.

Cálculo do vetor linear total do feixe dos