Integração e suas aplicações

1. INTEGRAÇÃO E SUAS APLICAÇÕES

1.1 INTEGRAIS INDEFINIDAS

1.1.1 INTRODUÇÃO

Até aqui preocupamos essencialmente com o problema: dada uma função, achar a sua

derivada. Mas, em muitas aplicações importantes do cálculo envolvem o problema inverso:

dada a derivada de uma função, determinar a função. Por exemplo, um físico que conhece a

velocidade de um corpo em movimento e queira determinar a posição do corpo num dado

instante; um pesquisador que conheça a taxa de aumento de uma determinada população e

queira prever a população num instante futuro.

O processo de obtermos uma função a partir de sua derivada é chamada de integral indefinida

ou antiderivação.

1.1.2 PRIMITIVA OU ANTI-DERIVADA

Se F ’ ( x ) = ƒ ( x ) , então a função F( x ) é chamada de primitiva ou antiderivada da

função ƒ (x) .

Exemplo:

F (x) =

2 x é uma primitiva de ƒ (x) = 2x , pois (

2 x ) ’ = 2x

G (x) = x 2 + 3 é uma primitiva de ƒ (x) = 2x , pois ( 3 2 x + ) ’ = 2x

H (x) = 5 2 x − é uma primitiva de ƒ (x) = 2x , pois ( 5 2 x − ) ’ = 2x

1.1.3 OBSERVAÇÕES

1. Todas as primitivas de ƒ (x) = 2x são da forma: F (x) = x + C 2

, onde C é uma

constante qualquer.

2. Uma função ƒ (x) admite infinitas primitivas que diferem entre si por uma

constante. Portanto, se F (x) é uma primitiva da função ƒ (x) , então qualquer

outra primitiva de ƒ (x), tem a forma: G (x) = F (x)+C .

3. A interpretação geométrica para o fato de que as infinitas primitivas da mesma

função contínua diferem por uma constante, é que os seus gráficos são

translações verticais uma da outra, ou seja, as inclinações de todas as curvas são

iguais para uma mesma abscissa x.

O gráfico abaixo (figura 1.1.1) apresenta quatro primitivas da função ƒ (x) = 2x .

( Figura 1.1.1 )

1.1.4 INTEGRAL INDEFINIDA

O conjunto das infinitas primitivas F (x) + C de uma função ƒ (x) é chamado de integral

indefinida da função ƒ (x) , e denotado por
f ( x ) dx .

Portanto,
f ( x) dx = F ( x ) + C <=> [ F ( x ) + C ] ' = f ( x )

Notações:
: símbolo de integração

f ( x ) : integrando

dx : diferencial e indica que a primitiva é calculada em x.

C : constante de integração

Exemplos:

a)
x dx = x + C 2 2 , pois ( x C ) ' 2 x 2 + =

b)
x dx = x + C 4 5

5

1

, pois

5 4 4 .5

5

1

) '

5

1

( x + C = x = x

c) e dx e C x x
= + 3 3

3

1

, pois

x x e C e 3 3 ) '

3