J. A. M. Felippe de Souza 8 – Estabilidade

J. A. M. Felippe de Souza 8 – Estabilidade

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8 – Estabilidade

8.1 – Introdução à Estabilidade 3

Definição 8.1 3

Definição 8.2 3

Teorema 8.1 4

Exemplo 8.1 5

Exemplo 8.2 7

Exemplo 8.3 8

Exemplo 8.4 9

8.2 – Critério de Routh para estabilidade 11

Observação 8.1 13

Observação 8.2 14

Teorema 8.2 14

Teorema 8.3 (Critério de Routh para estabilidade) 14

Exemplo 8.5 14

Exemplo 8.6 15

Exemplo 8.7 15

Teorema 8.4 18

Teorema 8.5 18

Exemplo 8.8 18

Exemplo 8.9 19

Exemplo 8.10 20

Exemplo 8.11 21

Exemplo 8.12 22

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Exemplo 8.13 23

Exemplo 8.14 24

Exemplo 8.15 25

Exemplo 8.16 27

Exemplo 8.17 28

8.3 – Casos especiais no critério de Routh 29

Exemplo 8.18 29

Exemplo 8.19 30

Exemplo 8.20 31

Exemplo 8.21 34

Exemplo 8.22 35

Teorema 8.6 37

Exemplo 8.23 37

Exemplo 8.24 39

Exemplo 8.25 40

Exemplo 8.26 42

8.4 – Estabilidade Relativa 43

Teorema 8.7 44

Exemplo 8.27 45

Exemplo 8.28 46

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Estabilidade

8.1 – Introdução

Neste capítulo vamos analisar o problema da estabilidade de sistemas lineares e invariantes

no tempo.

Fig. 8.1 – Diagrama esquemático de um sistema.

Definição 8.1:

O sistema é estável se a resposta ao impulso
0 quando 
∞. Ou seja, se a saída 

do sistema satisfaz

lim

   0

quando a entrada   impulso. ı

Equivalentemente, pode ser dada uma outra definição:

Definição 8.2:

O sistema é estável se toda a entrada limitada tem uma resposta limitada. ı

Sistemas que são estáveis segundo esta definição 8.2 são comummente chamados de

BIBO-estável (BIBO = bounded input-bounded output).

A entrada (input) de um sistema linear e invariante no tempo pode ser decomposta na

soma de parcelas correspondentes, cada uma delas, a cada um de seus pólos reais ou a

cada par de pólos complexos conjugados.

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A saída (output) destes sistemas será também composta de parcelas, chamadas de

‘modos’, que são correspondentes às parcelas com que foi decomposta a entrada

(input). Isso se deve ao facto de o sistema ser linear e ao conhecido Teorema da Superposição

da matemática.

A estabilidade de sistemas pode ser determinada pela localização dos pólos do sistema

no plano complexo.

Fig. 8.2 – Plano complexo.

Cada pólo no semi-plano da direita (SPD) implica em um ‘modo’ crescente na saída

(i.e., a resposta transitória aumenta indefinidamente ou oscila com amplitude crescente

para entrada impulso).

Logo, sistemas que têm um ou mais destes modos serão sistemas instáveis.

Cada pólo no eixo imaginário implica em um ‘modo’ em que a resposta transitória permanece

constante ou oscila com amplitude constante (i.e., para entrada impulso, a

resposta transitória não aumenta indefinidamente nem oscila com amplitude crescente,

mas entretanto não decresce).

Logo, sistemas que têm um ou mais destes modos poderão não ser sistemas instáveis

mas também não serão sistemas estáveis.

Finalmente, cada pólo no semi-plano da esquerda (SPE) implica em um ‘modo’ dominante

decrescente.

Portanto, é necessário que TODOS os pólos do sistema estejam no SPE para que ele seja

um sistema estável. Um pólo que não esteja no SPE causará um ‘modo’ crescente ou

constante e isso arruína a estabilidade tornando-o um sistema instável.

Teorema 8.1: Um sistema é estável se, e somente se, ele tem todos os seus pólos com

parte real negativa, isto é, localizados