LISTA DE EXERCICIOS - ELETROMAGNETISMO - MNPEF UNB - PORTU

(1.36 Repelindo bolas de volei *

Duas bolas de volei, massa 0,3 kg cada, amarradas por cordas de nylon e carregadas com um gerador eletrostático, pendure como mostrado na Fig. 1.40. Qual é a carga em cada um, assumindo que as taxas são iguais?)

[pic 1]

Solução:

Considere uma das bolas. O componente vertical da tensão na corda deve ser igual à força gravitacional na bola. E o componente horizontal deve ser igual à força elétrica.

[pic 2]

O ângulo que a corda faz com a horizontal é dado por tan θ = 10, então nós temos

[pic 3]

Daí vem,

     e    [pic 4][pic 5]

,          [pic 6][pic 7]

[pic 8]

           

[pic 9]

[pic 10]

[pic 11]

[pic 12]

1.38 Oscilando em uma linha **

Duas cargas positivas Q estão localizadas em pontos (±, 0). Uma partícula com carga positiva q e massa m é inicialmente localizada a meio caminho entre eles e então recebe um pequeno chute. Se for obrigado a se mover ao longo da linha que une as duas cargas Q, mostre que ela sofre um movimento harmônico simples (para pequenas oscilações) e encontre a freqüência.)[pic 13]

SOLUÇÃO: 

Se a carga q estiver na posição (x, 0), então a força da carga direita Q é igual a

[pic 14]

onde o sinal de menos indica para a esquerda. E a força da carga esquerda Q é igual a

[pic 15]

A força total é, portanto, (descartando termos de ordem x2)

[pic 16]

[pic 17]

[pic 18]

Vamos multiplicar e dividir o segundo termo da equação por ,[pic 19]

[pic 20]

Aplicando-se a expansão binomial e omitindo-se os termos de ordem superior .[pic 21]

[pic 22]

Daí vem,

[pic 23]

[pic 24]

[pic 25]

[pic 26]

Esta é uma força do tipo Lei Hooke, sendo proporcional ao x (negativo). A força restauradora exercida pela mola ideal é do tipo:

[pic 27]

O sinal negativo indica que a aceleração possui sempre sentido contrário ao do deslocamento, fornendo desta forma a aceleração do MHS, porém esssa aceleração não é constante. Quando a força restauradora é diretamente proporcional ao deslocamento da posição de equilíbrio, denomina-se Movimento Harmônico Simples ou MHS, onde a aceleração é de acordo com a equação F = ma para a carga q é

[pic 28]

[pic 29]

A freqüência de pequenas oscilações é a raiz quadrada do (negativo do) coeficiente de x, como você pode ver conectando

[pic 30]

[pic 31]

Portanto

[pic 32]

[pic 33]

Esta frequência aumenta com Q e q, e diminui com m e ; Isso faz sentido. No que diz respeito às unidades, [pic 34]

[pic 35]

tem as dimensões da força F (de olhar para a lei de Coulomb), então ω tem unidades de

[pic 36]

Isso corretamente tem unidades de segundos inversos.

1.48 Campo máximo de um anel **

Uma carga Q é distribuída uniformemente em torno de um anel fino de raio b que fica no plano xy com seu centro na origem. Localize o ponto no eixo z positivo, onde o campo elétrico é mais forte.

SOLUÇAO:

[pic 37]

Vamos supor uma partícula infinitesimal  podemos escrever a expressão do seu campo:[pic 38]

[pic 39]

[pic 40]

Decompondo nas duas dimensões:

[pic 41]

Iremos integrar,

[pic 42]

Podemos utilizar argumentos de simetria para justificar que só existe componente em z:

[pic 43]

Logo,

[pic 44]

Vamos encontrar a componente z por decomposição:

[pic 45]

[pic 46]

[pic 47]

Lembrando que o tringulo é retângulo na origem dos eixos coordenados, e não onde está o carga dq.

Além disso, como queremos o campo no eixo z que é o eixo de simetria do anel, pois o campo não depende das coordenadas x e y.  anel está no plano XY, então podemos tirar da integral o resultado

[pic 48]

[pic 49]

[pic 50]

Sendo assim a integral da carga no anel resulta em sua carga total:

[pic 51]

Para localizar o ponto no eixo z positivo, onde o campo elétrico é mais forte teremos de definir a derivada igual a zero

[pic 52]

Para este cálculo iremos usar a derivada do quociente,

[pic 53]

Fazendo,

            [pic 54][pic 55]

[pic 56]

[pic 57]

[pic 58]

Resolvendo teremos,

[pic 59]

[pic 60]

[pic 61]

[pic 62]

[pic 63]

[pic 64]

[pic 65]

[pic 66]

Concluímos que o ponto z em que o campo é o máximo, será:

[pic 67]

Como buscamos um ponto no eixo z positivo, estamos preocupados com a raiz positiva,

[pic 68]

Observe que sabemos que o campo deve ter um máximo local em algum lugar entre z = 0 e z = ∞, porque o campo é zero em ambos os pontos.

1.57 Linhas de campo de fuga **

As cargas 2q e -q estão localizados no eixo x em x = 0 e x = a, respectivamente.

(a) Encontre o ponto no eixo x onde o campo elétrico é zero e faça um esboço áspero de algumas linhas de campo.

(b) Você deve achar que algumas das linhas de campo que começam na carga 2q acabam na carga -q, enquanto outras se dirigem para o infinito. Considere as linhas de campo que formam o ponto de corte entre estes dois casos. Em que ângulo (em relação ao eixo x) essas linhas deixam a carga 2q? Dica: Desenhe uma superfície gaussiana, escolhida com sabedoria, que segue principalmente essas linhas)