Linguagem C

ÂNGULO DE DOIS VETORES

* Se θ = 180º, u e v têm a mesma direção e sentidos opostos.

* Se θ = 0, u e v têm a mesma direção e o mesmo sentido.

* Se θ = 90º, u e v são ortogonais, isto é, u  v.

* O vetor nulo é ortogonal a qualquer vetor.

* Se u é ortogonal a v e m é um número real qualquer, u é ortogonal a m.v

* O ângulo formado pelos vetores u e -v é o suplemento do ângulo de u e v.

OPERAÇÕES COM VETORES NO ESPAÇO:

1. Soma vetorial:

Dados os vetores u= (x1,y1,z1) e v= (x2,y2,z2), a soma vetorial é definida por:

u + v= (x1+x2, y1+y2,z1+z2)

1.1. Propriedades:

* Comutativa: u+v=v +u

* Associativa: (u+v) + w=u+(v+ w)

* Elemento neutro ou vetor nulo (0): u + 0= 0.

* Elemento simétrico (oposto): se u= (x1,y1,z1), o simétrico de u, indicado por -u = (-x1,-y1,-z1), tal que: u+ -u=0.

2. Subtração vetorial:

Dados os vetores u= (x1,y1,z1), e v= (x2,y2,z2), a subtração vetorial é definida por:

u- v=u+(-v)=(x1-x2, y1-y2,z1-z2)

3. Multiplicação de um escalar por um vetor:

Dados o número real a e o vetor u= (x1,y1,z1), tem-se que: a. u= (a.x1,a.y1,a.z1).

3.1. Propriedades:

* Distributiva: au+v=au+a.v

* a+bu= au+bu

* a.b.u=b.au=(ab)u

* 0.u=0; a.0=0

* 1u= u

VETOR DETERMINADO POR DOIS PONTOS:

* Dados os pontos A(x1,y1,z1) e B(x2,y2,z2), o vetor AB é definido por: AB=B-A.

MÓDULO ou NORMA ou MAGNITUDE DE UM VETOR:

u=x2+y2+ z2

VERSOR DE UM VETOR:

* Dado o vetor v= (x1,y1,z1), o versor u do vetor v é u=vv.

VETORES PARALELOS OU COLINEARES:

* Dados os vetores u= (x1,y1,z1) e v= x2,y2,z2, eles são paralelos ou colineares se:

* u=k.v ou x1x2=y1y2=z1z2=k

VETORES CANÔNICOS:

* Vetores no R2:

* i=1,0,j =(0,1).

* v= x,y=x.1,0+ y.0,1= x.i+y.j

* Vetores no R3:

* i=1,0,0,j =(0,1,0), k=(0,0,1).

* v= x,y,z=x.1,0,0+ y.0,1,0+ z.0,0,1= x.i+y.j +z.k

* Os vetores canônicos são ortogonais e