Linhas de transmissão

Linhas de Transmiss˜ao

Luan Bottin de Toni(246851)

7 de setembro de 2015

Resumo

Este relat´orio descreve um experimento cujo objetivo ´e entender a

propaga¸c˜ao de ondas eletromagn´eticas atrav´es de cabos coaxiais e seus

comportamentos ao variar a resistˆencia em sua extremidade. Mostrase

que ´e poss´ıvel calcular a velocidade de propaga¸c˜ao atrav´es de um

referencial te´orico ou um equipamento experimental e que essa velocidade

´e cerca de 2/3 da velocidade da luz, evidenciando a utilidade de

tais cabos para linhas de transmiss˜ao.

1 Introdu¸c˜ao

Atualmente as frequˆencias usadas na transmiss˜ao de sinais est˜ao cada

vez mais altas, levando a perdas importantes nos sinais. Isto faz com que o

conhecimento da f´ısica envolvida seja muito importante.

O experimento realizado tem como objetivo estudar os aspectos da propaga¸c˜ao

de ondas eletromagn´eticas em uma linha de transmiss˜ao constitu´ıda

por um cabo coaxial, medindo sua capacitˆancia, indutˆancia e impedˆancia,

assim como analisar a propaga¸c˜ao e reflex˜ao de pulsos.

Um cabo coaxial ´e uma linha de transmiss˜ao que consiste de um centro

condutor (geralmente de cobre), um espa¸camento diel´etrico, uma malha

condutora externa e uma cobertura pl´astica que, al´em de servir como terra,

blinda o sinal de campos eletromagn´eticos externos.

E razo´avel supor que uma linha de transmiss˜ao se comporta como uma ´

distribui¸c˜ao cont´ınua de capacitores e indutores, da qual isolamos uma c´elula

elementar demonstrada na figura 1.

A tens˜ao V0(t) aplicada num extremo introduzir´a um sinal V(x,t) e I(x,t)

que se propagar´a ao longo do cabo como uma onda. Na figura 1 h´a uma

queda de tens˜ao provocada pela corrente dada por ∆I/∆t na indutˆancia

L

0∆x. Ao considerarmos um cabo ideal sem perdas e aplicarmos a lei das

malhas temos que:

∆V (x, t) = −L

0∆x

∆I(x, t)

∆t

Analogamente, a diferen¸ca de corrente ´e dada por:

∆I(x, t) = −C

0∆x

∆V (x, t)

∆t

1

Figura 1: C´elula elementar de extens˜ao ∆x do circuito onde L’ e C’ representam

a indutˆancia e capacitˆancia por unidade de comprimento.

Tomando o limite ∆x, ∆t → 0:

∂V

∂x = −L

0 ∂I

∂t (1)

∂I

∂x = −C

0 ∂V

∂t (2)

Ao tomarmos a derivada da equa¸c˜ao (1) em rela¸c˜ao a x e a derivada da

equa¸c˜ao (2) em rela¸c˜ao a t, temos que:

∂

2V

∂x2

= −L

0 ∂

2

I

∂t∂x ;

∂

2

I

∂x∂t = −C

0 ∂

2V

∂t2

Logo, temos que:

∂

2V

∂x2

= L

0C

0 ∂

2V

∂t2

(3)

Como a equa¸c˜ao (3) e a equa¸c˜ao da onda s˜ao matematicamente a mesma

vemos que, de fato, trata-se de uma onda se propagando no cabo com velocidade:

v =

1

√

L0C0

(4)

A capacitˆancia e indutˆancia por unidade de comprimento est˜ao relacionadas

com parˆamentros geom´etricos dos cabos:

C

0 =

2πR

ln(r2/r1)

; L

0 =

µ0

2π

ln(r2/r1) (5)

onde R = κ0 ´e a constante de permissividade do diel´etrico do cabo coaxial.

Ao aplicarmos uma tens˜ao na extremidade do cabo uma onda e corrente

s˜ao geradas, no sentido positivo, de acordo com as rela¸c˜oes:

V+(x, t) = V0(t −

x

v

) ; I+(x,