Lista Extremos Relativos e Lagrange

 LISTA DE EXERCÍCIOS DE CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL III

ASSUNTO: Extremos das funções de duas variáveis e Multiplicadores de Lagrange

1. Examine cada uma das funções abaixo quanto a extremos relativos e pontos de sela:

a) [pic 1]

b) [pic 2]

c) [pic 3]

d) [pic 4]

1. Uma companhia fabrica dois produtos. A receita total da venda de x1 unidades do produto 1 e x2 unidades do produto 2 é [pic 5]. Determine os valores de x1 e x2 que maximizem a receita.

1. Utilize os multiplicadores de Lagrange para achar os extremos indicados. Suponha sempre x e y positivos:

Função objeto	Vínculo
a) Maximizar [pic 6]	[pic 7]
b) Minimizar [pic 8]	[pic 9]
c) Maximizar [pic 10]	[pic 11]
d) Maximizar [pic 12]	[pic 13]
e) Minimizar [pic 14]	[pic 15]

1. Um contêiner (em forma de um sólido retangular) precisa ter um volume de 480 pés cúbicos. Aplique os multiplicadores de Lagrange para determinar as dimensões do contêiner com esse volume e que tenha custo mínimo, sabendo que o material da base custa R$ 5,00 por pé quadrado e o material dos lados e da parte superior custa R$ 3,00 por pé quadrado.

1. Um industrial tem um pedido para 2000 unidades que podem ser fabricadas em dois locais. Sejam x e y os números de unidades produzidas nos dois locais. A função custo admite o modelo [pic 16]. Determine o número de unidades que devem ser produzidas em cada fábrica a fim de minimizar o custo.

 

1. A produção de  um industrial tem como  modelo a função de Cobb-Douglas

f(x,y) = 100x3/4y1/4

onde x representa  as unidades de trabalho e y as unidades de capital. Cada unidade de trabalho custa 150 reais e cada unidade de capital custa 250. A despesa total com trabalho e capital não pode exceder 50.000 reais. Determine o nível máximo de produção.

1.  Determine as dimensões de um pacote retangular de volume máximo, sujeito ao vínculo x +2y +2z = 108.

Respostas

1. a) Mínimo relativo: (1,3,0)  

      b) Mínimo relativo: (–1,1,–4)                                                    

      c) Máximo relativo: (8, 16, 74)                                

      d) Mínimo relativo: (2, 1, –7)

1. x1=3 e x2 = 6

1. a) f(5,5) = 25   b) f(2,2) = 8     c) f(1,1) = 2     d) f(2,2) = e4       e) f(9,6,9) = 432

1. Comprimento = largura ≈7,1 pés e altura ≈9,5 pés.

1. x=752,5 e y = 1247,5. Devemos tomar x = 753 unidades e y = 1247 unidades.

1. Produção máxima 16719 unidades, quando x= 250 unidades e y = 50 unidades.
2.  36 , 18 e 18.

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