MODELAGEM DO SISTEMA DE GERENCIAMENTO DE UMA REGIÃO PESQUEIRA

MODELAGEM DO SISTEMA DE GERENCIAMENTO DE UMA REGIÃO PESQUEIRA

RESUMO

São apresentados neste trabalho resultados e deduções, os quais são desenvolvidos a partir da modelagem da problemática relacionada ao gerenciamento de uma região pesqueira, com o auxílio de métodos matemáticos e computacionais. Abordamos as características de um método de solução analítica e soluções numéricas, foi utilizado a programação tanto para expressar resultados analíticos e principalmente numéricos.

PALAVRAS-CHAVE: gerenciamento de uma região pesqueira, equação linear

INTRODUÇÃO

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É frequentemente desejável descrever o comportamento de alguns sistemas ou fenômenos da vida real em termos matemáticos, quer sejam eles físicos, sociológicos ou mesmo econômicos. A descrição matemática de um sistema ou fenômeno, chamado de modelo matemático, é constituído levando em considerações determinadas metas. A exemplo de que talvez queiramos compreender os mecanismos de certo ecossistema através do estudo do crescimento de populações de animais, ou ainda, determinar datas fósseis através da análise do decaimento radioativo de uma substância que se apresenta no fóssil ou no extrato no qual foi descoberta (ZILL, 2012).

        Na tentativa de alcançar alguns objetivos, abordamos um sistema de gerenciamento de uma região pesqueira em que a população de peixes cresce exponencialmente a uma taxa de reprodução k e que a coleta (pesca) é permitida a uma taxa constante e continua h. verificamos e analisamos a viabilidade de algumas metas para esse sistema no decorrer deste trabalho.

FUNDAMENTOS TEORICOS

        

        Vamos imaginar por um momento que temos uma equação diferencial de primeira ordem na forma normal  e, além disso, não podemos encontrar e nem inventar um método para resolve-la analiticamente. Essa situação não é tão ruim quanto parece, uma vez que muitas vezes é possível juntar informações úteis sobre a natureza das soluções (ZILL, 2012).[pic 2]

        A exemplo do sistema de gerenciamento de uma região pesqueira, temos como método de solução analítica a equação linear, que é uma equação de primeira ordem na forma

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que tem como sua forma padrão,

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        E além do método analítico fizemos uma abordagem numérica da solução, em específico os métodos de Euler e Runge-Kutta, que define-se:

O método de Euler, ou método das tangentes, constitui uma das técnicas mais simples para aproximar soluções de equações diferenciais (ZIIL e CULLEN, 2001).

Admitindo que o problema de valor inicial de primeira ordem

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Lembre-se de que a espinha dorsal do método de Euler é forma geral

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onde  é uma função obtida da equação diferencial . O uso recursivo na formula geral para  permite obter coordenadas  de pontos sobre sucessivas “retas tangentes” à curva integral em   ou  , onde a constante  é o tamanho do passo entre  e  (ZILL, 2012).[pic 7][pic 8][pic 9][pic 10][pic 11][pic 12][pic 13][pic 14][pic 15]

        O método de Runge-Kutta de quarta ordem consiste em encontrar constante apropriadas de tal forma que a formula

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onde

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        A soma  pode ser interpretada como um coeficiente angular médio (ZILL, 2012).[pic 21]

MATERIAIS E MÉTODOS

O trabalho foi desenvolvido essencialmente de forma bibliográfica. Os conteúdos serão apresentados em forma de seminário, envolvendo outros estudantes do curso de matemática. O método de aplicação sobre o problema será resolvido, analisado e discutido durante os seminários. Um estudo prático de programação foi feito usando-se o software R para o tratamento dos métodos numéricos como os de Euler e Runge-Kutta, isto é, com o auxílio do software R e software geogebra foi possível representar graficamente as soluções das equações diferenciais ordinárias lineares.

DESENVOLVIMENTO

        

        Como enunciado anteriormente, a população de peixe cresce exponencialmente com uma taxa de reprodução k e que a pesca é permitida a uma taxa constante e contínua h.

        A priori identificamos que com o decorrer do tempo esse sistema está sofrendo variações que são influenciadas pela taxa de crescimento da população e a coleta dos mesmos, descrito pelo seguinte modelo de equação diferencial:

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        Podemos observar que a equação (1) é uma equação linear cujo sua forma padrão é:

[pic 23]

onde  .[pic 24]

Em que:

k é a taxa de reprodução

h é a taxa de coleta(anual)

P é a população de peixes

        Agora vamos em busca da solução geral do sistema, para isso devemos encontrar o fator integrante que é:

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Multiplicando a forma padrão da equação pelo fator integrante temos:

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E por fim integramos ambos os lados da equação (4), segue-se

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Cuja população inicial, ou seja, quando  é:[pic 33]

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        Agora supondo que a taxa de reprodução seja , a população inicial  e a cota de pesca  peixes por ano, temos que:[pic 35][pic 36][pic 37]