Metodo de Simpson

[pic 1]

Faculdade Araguaia

Engenharia Civil

Brunno Dourado Silva

Método de Simpson

Goiânia

2018

Brunno Dourado Silva

Método de Simpson

Estudo sobre o Método de Simpson apresentado à Faculdade Araguaia como parte das exigências do Curso de Engenharia Civil para obtenção de nota referente ao N2 da disciplina de Cálculo III.

        Marcos Soares Silva

Goiânia

2018

SUMÁRIO

    RESUMO        4

INTRODUÇÃO        5

THOMAS SIMPSON        5

MÉTODO DE SIMPSON        5 a 9

    CONSIDERAÇÕES FINAIS        10

    REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS........................................................................................11

RESUMO

Todos que utilizam o cálculo em suas vidas, já se deparou com o calculo de integrais, geralmente quando temos uma integral definida, começamos procurando uma função na qual que f(x) e uma primitiva, assim ajudando para calcular tal integral, mas algumas integrais que aparentemente são simples não gera nenhum resultado utilizando-se do método citado.

O método de Simpson trata-se de uma forma de obter uma aproximação da integração definida, utilizando-se de um polinômio interpolador de 2º grau, ou seja, uma parábola, também chamado de método das parábolas, divide-se o intervalo de integração (a,b) em n partes iguais, sendo n um número par.

INTRODUÇÃO

Este método geralmente e usado quando a função a ser integrada pode ser difícil realizar a integração, enquanto que a integração de um polinômio e quase sempre de imediato, poderá ser também utilizada quando a função que e dada e simplesmente uma tabela de pare ordenados.

A regra de Simpson e obtida aproximando-se f por um polinômio interpolador de 2º grau, ou seja, uma parábola, numericamente falando podemos ainda utilizar a fórmula de Lagrange para estabelecer a formula de integração resultante da aproximação de f(x) por um polinômio de grau 2.

 

THOMAS SIMPSON

Thomas Simpson nasceu em 20 de agosto de 1710 no Reino Unido, foi  um  matemático e inventor britânico,  cujo  trabalho  residiu principalmente  no  campo  da probabilidade.  Lecionou  na   Royal Military  Academy  de  Woolwich. Seus  primeiros  artigos  foram publicados no  Ladies' Diary.  Mais tarde  ele  tornou-se  editor  desse jornal popular. Faleceu em 14 de maio do ano de 1761 no Reino Unido.

O método de Simpson foi atribuído seu sobrenome por citar o método em seus trabalhos, porém dados obtidos mostram que esta fórmula já havia sido criada 200 anos antes por Johannes Kepler que era um matemático alemão, astrônomo e astrólogo, na Alemanha o método de aproximação de integrais definidas era chamada de Keplersche Fassregel.

MÉTODO DE SIMPSON

No Método de Simpson, ou Método das Parábolas, divide-se o intervalo de integração (a,b) em n partes iguais, sendo n par.

[pic 2]

Constrói-se a tabela dos pontos n+1 pontos (xi , yi ), onde x0 = a e xn = b.

 

X	x0 = a	x1	x2	...	xn-1	xn = b
Y	y0	y1	y2	...	yn-1	yn

 

 Traça-se, por cada dois intervalos consecutivos, isto é cada três pontos, uma parábola (segundo grau). Acha-se a integral de cada parábola, admitindo-se que essa integral seja uma boa aproximação da integral da função original. Haverá, assim, n/2 parábolas.

Somando-se as integrais dessas n/2 parábolas, tem-se uma aproximação da integral da função. Tomemos os dois primeiros intervalos (x0 , x1) e (x1 , x2).

 Tem-se a tabela a seguir:

 

X	x0	x1	x2
Y	y0	y1	y2

 

 

onde: x1 – x0 = h   e        x2 – x1 = h.

 

Vamos construir a parábola (do segundo grau) que passa pelos três pontos dados e, em seguir, vamos integrar essa parábola, achando a área entre a curva e o eixo de X.

Claro que essa área não se altera se deslocamos o eixo de Y para a posição x = x1. Ficamos com a tabela:

 

X	-h	0	+h
Y	y0	y1	y2

 

Seja Y = A X2 + B X + C a parábola que passa pelos três pontos dados.

 

y0 = A (-h)2 + B (-h) + C = A.h2 – B.h + C

y1 = A (02) + B(0) + C = C

y2 = A (h)2 + B (h) + C = A.h2 + B.h + C

 

Equação 1

 [pic 3]

Calculemos a integral da parábola de –h a +h.

 

 

I1 = 2Ah3/3 + 2Ch = (2Ah2 + 6C) h/3 = (2Ah2 + 2C + 4C ) h/3

Porém, das equações 1 acima, somando-se a primeira com a terceira, tem-se: y0 + y2 = 2Ah2 + 2C  da segunda equação, tem-se: y1 = C

Logo: I1 = (y0 + 4 y1 + y2 ) h/3 = h/3 (y0 + 4 y1 + y2 )