Metodos de iIterpolação

Métodos de Interpolação

Resumo: Encontrar o valor de uma função real, de variável real, f(x) para um determinado x dado, é uma questão muito simples se estivermos em posse de um computador que nos permita programá-lo e realizar as operações necessárias de forma simples, porém comumente ocorre a necessidade de obter um valor intermediário que não consta em uma tabela. Dados experimentais, tabelas estatísticas e de funções complexas são exemplos desta situação. Assim, podemos utilizar métodos para solucionar essas questões, sendo necessário apenas o tabelamento de alguns pontos.

Palavras-chave: Interpolação, Lagrange, Newton, Gregory-Newton, Métodos

INTRODUÇÃO

Interpolação é o processo de estimar valores de uma função real f(x) para valores reais de x diferentes de xi, com i = 0,1,2,...,n, dados de forma discreta através de um tabelamento. Na interpolação é utilizada uma função g(x) que aproxima f(x) em um determinado intervalo de pontos, então é dito que g interpola a função f nos valores x1, x2, ..., xn. Assim, é construído um novo conjunto de dados a partir de um conjunto discreto de dados previamente conhecidos.

A necessidade de interpolar uma função surge quando a expressão analítica de F(x) não é conhecida, conhecendo-se apenas alguns pontos, sendo preciso estimar outros valores além destes, esta situação ocorre muito na prática, quando se trabalha com dados experimentais. A interpolação também é utilizada quando f(x) é extremamente complicada e de difícil manipulação. Então, às vezes torna-se interessante sacrificar a precisão em benefício da simplificação dos cálculos.

A função g(x) também pode ser chamada, genericamente, de polinômio interpolador, que passa exatamente nos pontos tabelados, como pode ser visto na Figura 1, e sendo assim f será aproximada por um polinômio, sendo este de grau igual ao número de pontos conhecidos menos um.

O objetivo deste trabalho consiste na explicação de como encontrar o polinômio resultante e sobre cada particularidade dos diferentes métodos: Lagrange, Newton e Gregory-Newton.

Figura 1: Aproximação polinomial graficamente

Fonte: https://www.obaricentrodamente.com/2011/03/interpolacao-polinomial-parte-1.html

MÉTODOS

2.1 POLINÔMIO INTERPOLADOR DE LAGRANGE

Sejam x0, x1, ..., xn, n + 1 pontos distintos e yi = f(xi), i = 0, 1, 2, ..., n, existe um único polinômio P(x) de grau ≤ n que interpola f em x0, x1, ..., xn. Logo:

f(xk) = P(xk); para k = 0, 1, ..., n (1)

Pn(xi) = y0L0(xi) + y1L1(xi) + ... + ynLn(xi) = yi (2)

De forma resumida, pode-se escrever:

(3)

Onde Lk(x) são os fatores de Lagrange e são dados por:

(4)

Exemplo:

x

2

2,5

4

F(x)

0,5

0,4

0,25

Calculando os valores de L0, L1, L2:

L0(2) = (x - x1)(x - x2)/(x0 - x1)(x0 – x2) = (x – 2,5)(x – 4)/(2 – 2,5)(2 – 4) = (x – 2,5)(x – 4)

L1(2) = (x – x0)(x- x2)/(x1 – x0)(x1 – x2) = (x – 2)(x – 4)/(2,5 – 2)(2,5 – 4) = (x – 2)(x – 4)/0,75

L2(2) = (x – x0)(x – x1)/(x2 – x0)(x2 – x1) = (x – 2)(x – 2,5)/(4 – 2)(4 – 2,5) = (x – 2)(x – 2,5)/3

Dessa forma, ficamos com:

𝑃2(𝑥) = 0,5(𝑥 − 2,5)(𝑥 − 4) + 0,4 . (𝑥 − 2)(𝑥 − 4)/0,75 + 0,25 (𝑥 − 2)(𝑥 − 2,5)/3

𝑃2(𝑥) = 0,05𝑥2 − 0,425𝑥 + 1,15

2.2 POLINÔMIO INTERPOLADOR DE NEWTON

É uma maneira simples de interpolação, que permite a inserção de pontos com menos possibilidade de erros de arredondamento. Esse método é construído e baseado sucessivamente a partir de polinômios com graus inferiores usando a diferença dividida, sendo o polinômio:

Pn(x) = f[x0] + f[x0,x1](x-x0) + f[x0,x1,x2](x-x0)(x-x1)+......+f[x0,...., xn](x-x0)(x-x1)....(x-xn-1),

onde f[xi] é o operador de diferenças divididas. Este operador é definido para certa função f(x) tabelada em n+1 pontos distintos (x0, x1, x2, ...xn).

2.3 POLINÔMIO INTERPOLADOR DE GREGORY-NEWTON

Quando os valores das abscissas