Modelagem Matemática

1. Uma loja de roupas vende dois tipos de casacos que são semelhantes, mas são feitos por diferentes fabricantes. O custo para o armazenamento do primeiro tipo é de 80 reais, e o custo do segundo tipo é de 100 reais. Foi determinado pela experiência que, se o preço de venda

do primeiro tipo é x reais (x > 0) e o preço de venda do segundo tipo é y reais (y > 0), então o total de vendas mensais do primeiro tipo é 3200 − 50x + 25y sobretudos e as vendas totais mensais do segundo tipo é 25x − 25y sobretudos. Que preços de venda devem ser escolhidos

para maximizar os lucros totais? Você pode assumir que existe um máximo?

SOLUÇÃO

f(x,y) = (x – 80)(3200 – 50x + 25y) + (y – 100)(25x – 25y)

f(x,y) = 3200x – 50x2 + 25xy – 265000 + 400x – 2000y + 25xy – 25y2 – 2500x + 2500y

f(x,y) = 4700x – 50x2 + 50xy – 256000 + 500y – 25y2

Derivando temos:

∂f/∂x=4700-100x+50y

∂f/∂y=50x+500-50y

Como ∂f/∂x=∂f/∂y=0, temos:

{█(-100x+50y=4700@50x-50y=500)┤ , resolvendo o sistema pelo método da adição temos x = 104, substituindo teremos y = 114

Portanto a solução é f(104,114) = 16900

2. Uma fábrica classifica seus trabalhadores em Classe X e Classe Y. Os trabalhadores da Classe X ganham 28 reais para realizarem um certo trabalho, enquanto que os da Classe Y ganham 26 reais para realizarem o mesmo trabalho. Para executar um certo trabalho, o custo do material é dado pela expressão y3 + x2 − 8xy + 600, se x trabalhadores da Classe X e y trabalhadores da Classe Y forem utilizados. Quantos trabalhadores de cada classe seriam utilizados de tal forma que o custo para executar o trabalho seja mínimo e, no mínimo, 3 trabalhadores de cada Classe sejam necessários?

SOLUÇÃO

Elaborando a equação temos: z = y3 + x2 − 8xy + 600 + 28x + 26y

Calculando as derivadas temos:

∂z/∂x=2x-8y+28

∂z/∂y=3y^2-8x+26

Sabendo que ∂z/∂x=∂z/∂y=0, temos pela primeira derivada x = 4y -14, substituindo este valor na segunda derivada temos:

∂z/∂y=0

3y^2-8x+26=0

3y^2-32y+138=0,calculando o discriminate temos

∆= -623,logo não temos solução real.

Como ∂z/∂x=∂z/∂y=0, não oferece solução, então devemos analisar um ponto próximo ao ponto de contorno da Região Factível, que é no mínimo 3 trabalhadores de cada classe.

Analisando os possíveis casos temos:

z(3,3) = 726

z(3,4) =