Métodos Numéricos Aplicados à Engenharia

MÉTODOS NUMÉRICOS APLICADOS A UM ENSAIO DE TRAÇÃO

1 Introdução

O problema proposto tem como base um ensaio de tração, que é um dos mais utilizados para caracterizar o comportamento mecânico dos materiais.

O ensaio consiste em tracionar um provete normalizado, aumentando sucessivamente a força aplicada e obtendo os valores de deformação associados a cada força. Assim, é possível retirar informação sobre a evolução da tensão(s) em função da deformação(e).

O problema tem como objetivo estimar o comportamento mecânico do material através de uma aproximação polinomial de grau 6 e através de uma aproximação exponencial. Tendo as duas aproximações, pretende-se estudar a sua qualidade para o domínio elástico e para o domínio plástico.

Vão ser utilizados como auxílio de cálculo: o Método dos Mínimos Quadrados para estimar a matriz A e o vetor b intervenientes no sistema de equações, o Método de Jacobi para resolução de sistemas de equações lineares e o Método de Newton-Raphson para a resolução de sistemas de equações não-lineares

2 Aproximação Polinomial

No problema 1, pede-se que se faça a aproximação polinomial com um polinómio de grau 6 a partir dos dados experimentais.

A primeira parte do problema consiste em construir o sistema de equações lineares com base nas equações normais.

Seguidamente, pede-se a resolução do sistema de equações lineares obtido com o método que se considere mais apropriado. Neste caso, foi escolhido o Método de Jacobi.

Finalmente, é pedida uma comparação entre os coeficientes calculados com o método escolhido e os coeficientes calculados quando se adiciona a linha de tendência ao gráfico tensão(s) / deformação(e) para e ? [0;0.2].

2.1 Construção do Sistema de Equações Lineares

Para a construção do sistema de equações lineares, A*x=b, recorreu-se ao método dos mínimos quadrados de modo a estimar a matriz A e o vetor b a partir dos dados experimentais fornecidos.

2.2 Resolução do Sistema de equações Lineares

Foi escolhido o Método de Jacobi para a resolução deste sistema de equações por ser adequado ao problema.

Foram criadas as matrizes auxiliares para o método: D, D-1, L, U e M=-D-1*(L+U).

Foi calculada então a 1ª iteração a partir da fórmula iteradora presente no formulário para o Método de Jacobi

2.3 Análise comparativa entre os valores calculados e os fornecidos na linha de tendência

No gráfico fornecido com o enunciado, adicionou-se uma linha de tendência de um polinómio de grau 6.

A conclusão que se deveria tirar se os valores estivessem bem calculados é que os gráficos são muito semelhantes. No valor obtido para os coeficientes a0,…,a6 nas duas formas referidas os valores dos coeficientes deverão ser iguais até à primeira casa decimal. Isto faz sentido pois o EXCEL quando calcula a linha de tendência, executa também um método numérico que é semelhante ao escolhido aqui. O gráfico do polinómio calculado deve estar também na mesma zona, estando os 3 quase sobrepostos.

3 Aproximação Exponencial

No problema 2, pede-se que se faça a aproximação exponencial a partir dos dados experimentais.

A primeira parte do problema consiste em construir o sistema de equações não lineares.

Depois, resolver o sistema de equações não lineares utilizando o método de Newton-Raphson.

Estimam-se então os parâmetros a, b e c segundo os critérios do enunciado. Para esta parte utiliza-se o Método dos Mínimos Quadrados para estimar f1, f2 e f3, calcular as derivadas parciais e a matriz Jacobiana para então aplicar o método.

3.1 Construção do Sistema de equações não lineares

Primeiro, constrói-se o vetor F

Agora, calcula-se o Jacobiano a partir do vetor F

Calcula-se o sist de eq lineares.

3.2 Resolução do Sistema de Equações não linear pelo Método de Newton-Raphson

3.2.1 Estimativa dos parâmetros a, b e c

A primeira coisa a fazer é estimar os parâmetros a,b e c segundo os critérios do enunciado

3.2.2 Aplicação do Método de Newton-Raphson

A solução inicial vai ser o vetor:

331,5

x(0) = 198,6

14

Agora para seguir os passos do método, tem que se calcular F(x(0)) e J-1(x(0)), ou seja calcular o vetor F e a matriz Jacobiana a partir da solução inicial

Assim, finalmente, pode ser aplicada a fórmula iteradora do Método de Newton-Raphson.

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