Noções de probabilidade

NOÇÕES DE PROBABILIDADE (CAP. 3 PLT)

Probabilidade é a parte da matemática que permite calcular a chance de ocorrência de um evento, dentro de um espaço amostral, expressa através de uma razão ou de uma porcentagem, considerando um experimento aleatório.

Assim

EXPERIMENTO ALEATÓRIO

É aquele experimento que quando repetido em iguais condições, podem fornecer resultados diferentes, ou seja, são resultados explicados ao acaso. Exemplo: jogar na sena, sortear uma carta de um baralho, jogar uma moeda e esperar o resultado na face superior e etc.

ESPAÇO AMOSTRAL E EVENTO

Espaço amostral é o conjunto de todos os resultados possíveis de um experimento aleatório; Evento é qualquer subconjunto do espaço amostral.

Exemplos:

a) Ao se lançar uma moeda, qual a probabilidade de ocorrer cara?

Resolução:

Evento (subconjunto)  ocorrência de cara, um caso favorável

Espaço Amostral (conjunto)  número de casos possíveis: 2 (cara, coroa)

Probabilidade = ou 50 %

b) Ao se lançar um dado, qual a probabilidade de ocorrer um número múltiplo de 3?

Resolução:

Evento (subconjunto)  um número múltiplo de 3, dois casos favoráveis: {3,6}

Espaço Amostral (conjunto)  número de casos possíveis: 6 (1, 2, 3, 4, 5, 6).

Probabilidade = ou 33,33 %

c) de um total de 52 cartas de um baralho:

COPAS OUROS ESPADA VALETE

A  A • A  A 

K  K • K  K 

Q  Q • Q  Q 

J  J • J  J 

2  2 • 2  2 

3  3 • 3  3 

4  4 • 4  4 

5  5 • 5  5 

6  6 • 6  6 

7  7 • 7  7 

8  8 • 8  8 

9  9 • 9  9 

10  10 • 10  10 

Ao selecionar uma carta, qual a probabilidade de ser um ouros?

Evento (subconjunto)  selecionar um ouros, 13 casos favoráveis: (A, K, Q.....2,3,...9,10)

Espaço Amostral (conjunto)  número de casos possíveis: 52 cartas.

Probabilidade = ou 25 %

AMPLITUDE DAS PROBABILIDADES

A probabilidade de um evento E está entre 0 e 1. Ou seja, 0  P(E)  1 (0 a 100%).

TIPOS DE EVENTOS

Considere o experimento aleatório: lançamento de um dado comum e observação do número voltado para cima.

O espaço amostral será: U = {1, 2, 3, 4, 5, 6}.

1º) Evento certo: é o próprio espaço amostral.

Exemplo: evento A  ocorrência de um número menor que 8

A = {1, 2, 3, 4, 5, 6}

P(E) = 100%

2º) Evento impossível: é o subconjunto vazio do espaço amostral.

Exemplo: evento B  ocorrência de um número maior que 10.

B = 

P(E) = 0

3º) Eventos complementares: são dois eventos E e , tais que:

O complemento de E é o grupo de todos os resultados em um espaço amostral que não está incluído no evento E. O complemento do evento E é denotado por e é lido como “ E linha”.

Exemplos:

Evento E  ocorrência de um número par : E = {2, 4, 6}

Evento  ocorrência de um número ímpar: : {1, 3, 5}

Observe que: E  = {1, 2, 3, 4, 5, 6}

Temos que:

P(E) + P( ) = 1 P(E) = 1 - P( ) P( ) = 1 – P(E)

PROBABILIDADE CONDICIONAL

Chama-se probabilidade condicional de um evento B a probabilidade de esse evento ocorrer considerando-se que já ocorreu um evento A.

A probabilidade de ocorrer o evento B, dado que ocorreu o evento A, é indicada por P (B/A) (lê-se “probabilidade de B dado A” ).

O número P (B/A) é a probabilidade de ocorrer B, condicionada à ocorrência de A.

Exemplo:

Em um curso, 10 rapazes estão estudando matemática, bem como 6 garotas, de um universo de 100 alunos. Um estudante é escolhido ao acaso e observa-se que é estudante de matemática. Se 60% dos alunos é formado por garotas, qual é a probabilidade de o estudante escolhido ser homem?

Organizando os dados:

Estudam Não estudam TOTAL

H 10 30 40

M 6 54 60

T 16 84 100

16 alunos estudam matemática. Então, o espaço amostral consiste desses 16 estudantes, conforme o quadro abaixo. Desses, 10 são homens. Logo,

Estudam

H 10

M 6

T 16

MULTIPLICAÇÃO DE PROBABILIDADES