O Conceito de Derivada

O Conceito de Derivada.

Para chegar ao conceito de Derivada de uma função, trabalhamos os conceitos de taxa de variação média e taxa de variação instantânea nas mais variadas áreas do conhecimento.

Na verdade, o conceito de variação média não é exclusivo das funções de 1º grau, a taxa de variação média pode ser calculada para qualquer função.

A taxa de variação média é obtida pela divisão de duas grandezas que na prática, tem unidades de medida, então a taxa de variação média também tem unidade de medida que será dada pela divisão das duas unidades de medidas envolvidas.

Notamos que com o passar do tempo as taxas de variações médias aumentam e sendo crescente a produção as taxas também são crescentes, isso é observado graficamente se notarmos que o gráfico de tal função é uma parábola com a concavidade voltada para cima. Estudar o comportamento da produção em um instante específico nos remete ao desenvolvimento de ferramentas matemáticas que permitam estudar mais profundamente tal função e analisa-la de modo mais detalhado.

Exemplo é possível calcular a taxa de variação da produção por um instante especifica? Por exemplo, qual a taxa de variação da produção exatamente ás 3horas? É possível calcular tal taxa como realizarmos tal calculo?

Para calcular a taxa de variação da produção por um instante vamos denomina-la taxa de variação instantânea.

Ao perguntarmos qual a taxa de variação da produção exatamente as 3horas, estamos perguntando qual taxa de variação instantânea da produção no instante x = 3.

Para compreender como é possível o calculo da taxa de variação instantânea da produção e qual o valor de tal taxa para o instante x = 3, vamos utilizar a seguinte ideia: calcularemos várias taxas de variação médias para intervalos de tempo “ muitos pequenos”, cada vez mais “próximos” do instante x = 3.

Assim, calculamos as taxas de variação média para intervalos de “3 até um instante pouco maior que 3” e notamos que tal taxa cada vez mais se aproxima do valor 6.

Tal resultado permite dizer que, ás 3h00, a produção é de 6 toneladas/hora. Como a taxa de variação instantânea é calculada a partir de taxas de variação média, é normal que se use para ambas a mesma unidade de medida (tonelada/hora).

Considerando a taxa de variação instantânea assim definida, os três primeiros cálculos da taxa de variação média, resumem a tentativa de determinar o limite lateral, só é possível porque os limites laterais são um numero, e tal numero coincide nos dois limites laterais.

A taxa de variação da função produção no instante x = 3 é muito importante e também recebe o nome derivada da função produção no ponto x = 3. Simbolizamos a taxa de variação instantânea, ou derivada, no ponto x = 3 por f’ (3).

Devemos lembrar que tal limite só existe, ou seja, a derivada no ponto só existe, se os limites laterais resultarem em um mesmo numero. Caso isso não ocorra, o limites laterais resultarem em um mesmo numero. Caso isso não ocorra, o limite no ponto x = a não existe e por consequência a deriva não existe.

Numericamente, para obter a taxa de variação instantânea, partimos da taxa de variação média.

Sabemos que a taxa de variação instantânea representa a derivada de uma função