O ESTUDO DE PERFIL DE TEMPERATURA NA DIFUSÃO DE CALOR EM UM PONTO DE UMA PLACA SUBMETIDA A DIFERENTES CIRCUNSTÂNCIAS DE PROPAGAÇÃO DE CALOR ATRAVÉS DA EQUAÇÃO DIFERENCIAL PARCIAL POR MÉTODOS FINITOS

ESTUDO DE PERFIL DE TEMPERATURA NA DIFUSÃO DE CALOR EM UM PONTO DE UMA PLACA SUBMETIDA A DIFERENTES CIRCUNSTÂNCIAS DE PROPAGAÇÃO DE CALOR ATRAVÉS DA EQUAÇÃO DIFERENCIAL PARCIAL POR MÉTODOS FINITOS

Thiago de Oliveira Guedes

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ENGG03 – Métodos Numéricos na Engenharia

Prof. Dr. Leizer Schnitman

Resumo

Esse trabalho tem como objetivo analisar o perfil de temperatura na difusão de calor em placas submetidas a diferentes ocasiões de propagação, como forma de tirar conclusões sobre a maneira que a temperatura varia para cada modelo, obedecendo a EDP elíptica laplaciana no plano bidimensional via MATLAB.

Palavras-chaves: EDP. Difusão de Calor. Perfil de Temperatura.

Abstract

This paper's goal is to study the temperature’s profile in the heat diffusion in boards submitted to different occasions of propagation, as a way of drawing conclusions on the way the temperature varies for each model, following laplacian elipcal PDE in a bidimential plane through MATLAB.

Keywords: PDE. Heat Diffusion Heat. Profile’s Temperature.

Introdução

Entre os muitos fenômenos físicos que existem, o estudo do calor e da diferença de temperatura podem ser pontuados como um dos mais antigos. Desde séculos, modelos e técnicas matemáticas foram desenvolvidas para soluções que eram apenas feitas de forma experimental.

A transferência de calor essencialmente ocorre através de três mecanismos diferentes: condução, convecção e radiação. A condução pode ser definida como a transferência de energia das partículas mais energéticas para as menos energéticas de uma substância, devido às interações entre as mesmas.

O exemplo base será uma placa em diferentes circunstâncias de propagação de calor: fontes nas extremidades, no centro, perto das arestas e combinações. A partir disto, serão tiradas conclusões referente ao fenômeno de transferência de calor e observações relevantes sobre a variação de temperatura no sistema.

Neste estudo, utilizaremos modelos matemáticos sustentados por Equações Diferenciais Parciais para simular a transferência de temperatura em diferentes situações através de uma matriz bidimensional que representa a seção de corte longitudinal de uma placa. A velocidade de propagação nos eixos será improvisada para dar veracidade aos critérios de classificação dos fluxos.

Referencial Teórico

As equações diferenciais são abordadas em diversos problemas de modelagem, tais como na equação de onda, que descreve a propagação de um no meio, e na equação de Schröndiger que aborda a probabilidade de se encontrar uma partícula em um determinado ponto em um certo instante. É possível citar outros exemplos, principalmente na ciência. Nesse trabalho será aplicado uma EDP para modelagem na equação de calor.

As EDPs são classificadas por sua ordem e linearidade. A equação usada é uma equação linear de primeira ordem do tipo elíptica, mais conhecida como equação de Laplace. O foco do estudo e saber como o calor se propaga em função do espaço.

(1)

Foi negligenciada o eixo z na expressão por tratar de uma modelagem bidimensional, considerando assim o Δz muito pequeno, isolado termicamente. Além disso, o foco não é na dilatação superficial, logo não será usado nenhum tipo de coeficiente.

1. Métodos Finitos e Condições iniciais de Simulação

Para se encontrar uma solução numérica para a EDP estudada, será utilizado o método de elementos finitos por diferenças centradas, usando o truncamento da série de Taylor na primeira ordem.

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Série de Taylor

(3)

Diferença Finita Centrada truncada na primeira ordem

(4)

Diferença Finita Centrada truncada na segunda ordem

Para aplicação do método finito para o caso de análise, foi considerado a placa quadrada com os mesmos valores de passo h, sendo assim Δx = Δy.

Assim temos:

(5)

A partir desse método, será utilizada a média das vizinhanças, variando a cada interação. Sendo assim, dada uma temperatura inicial, veremos como vai ser a interação desta temperatura para um determinado número de passos h.

Metodologia

1. Uso da ferramenta MATLAB

Todo o código foi feito na plataforma foi sintetizado em forma de função. Foram feitos 4 casos de difusão de calor na placa. Todos estes casos se encontram no mesmo código e, ao executar a função, é necessário configurar o número referente ao caso que será simulado. Se não houver especificação, será rodado o primeiro caso. Na plataforma, os casos de propagação foram organizados desta forma:

Caso 1: Temperatura máxima em duas extremidades da placa;

Caso 2: Temperatura máxima no centro da placa;

Caso 3: Temperatura máxima próximo a duas arestas da placa;

Caso 4: Temperatura máxima em duas extremidades e no centro da placa.

Observação: para todos esses testes, a temperatura mínima ficará nas extremidades, nos casos 1 e 4, essas só ocuparão duas extremidades opostas a temperatura máxima.

Depois de executar a função, aparecerá a animação resultante da propagação de calor por interação usada. Após a animação, é necessário apertar ENTER e será plotado pelo comando surf um gráfico 3D (temperatura versus comprimento versus largura). Apertando novamente ENTER, aparecerá o gráfico de temperatura versus interações em um determinado ponto na superfície das placas. As coordenadas deste ponto podem ser modificadas livremente.

2. Condições de simulação

Para a simulação, temos alguns informações que serão constantes para os quatro casos, tentando trazer uma problemática voltada