O Relatório MHS, Mola

Experimento de Oscila¸c˜oes

Maio de 2021

1. Introdu¸c˜ao

A dinˆamica harmˆonica ´e toda aquela que possui algum movimento peri´odico. A equa¸c˜ao diferencial que rege este movimento (em uma dimens˜ao) com um fator de amortecimento proporcional `a velocidade ´e dado por:

d2x        dx

m dt2 + b dt + kx = 0        (1)[pic 1][pic 2]

Se  o  coeficiente  de  amortecimento  for  menor  que  a  frequˆencia  natural  de oscila¸c˜ao (ω =        k ), temos que a solu¸c˜ao ´e dada por:[pic 3][pic 4][pic 5][pic 6]

Onde γ =  b

---

x(t) = Ae−γt cos (ωt + θ)        (2)

.  A energia total ´e dada por:[pic 7]

E = mgh +[pic 8]

---

1 kx2 2

---

(3)

Onde  k  ´e  o  coeficiente  da  mola,  k  =  ωm.   Notemos  que  a  energia  n˜ao  ir´a se  conservar  pelo  fato  de  n˜ao  estarmos  em  condi¸c˜oes  perfeitas,  ent˜ao,  n˜ao esperamos que E do sistema seja constante.

1. Objetivos

Determinar o movimento harmˆonico subamortecido do sistema massa-mola e sua equa¸c˜ao de movimento.  Encontrar o coeficiente de deforma¸c˜ao da mola usada e graficar a solu¸c˜ao x(t) e a energia total.

1. Materiais

A seguir temos os itens necess´arios para a realiza¸c˜ao do experimento:

• Mola pequena;

• Objeto com peso definido, pendurado na parte de baixo da mola, para que cause uma for¸ca peso e a estique.
• Barbante segurando a mola ao peso, o barbante funciona apenas como aux´ılio  segurando  a  massa,  ele  n˜ao  precisa  ser  inextens´ıvel,  visto  que o u´nico movimento estudado ser´a vertical;
• Balan¸ca simples;
• Objeto com dimens˜oes conhecidas, usado como bast˜ao de medi¸c˜ao no Tracker;
• Cˆamera;
• SciDAVis;
• Tracker;

[pic 9]

Figura 1: Esquema do experimento

1. Metodologia

Para a execu¸c˜ao do experimento, devemos seguir os seguintes passos:

1. Iniciamos medindo uma massa suficiente para esticar a mola, evitando danific´a-la;
2. O  sistema  ´e  acoplado  ´a  uma  base  fixa,  tentando  evitar  a  colis˜ao  dos objetos com a parede;

1. Come¸camos a grava¸c˜ao segurando o peso que estica a mola e depois o soltamos, contando o total de 6 oscila¸c˜oes;
2. Usando a filmagem no Tracker ser´a ent˜ao poss´ıvel visualizar a oscila¸c˜ao de ∆x da mola pelo tempo, aplicamos, ent˜ao, esses dados no programa SciDAVis.

1. Resultados

1. An´alise  do  movimento  da  mola

O experimento foi feito com uma massa de (230 ± 10)g adicionada na parte de baixo da mola. No Tracker, o eixo de coordenadas foi colocado como na Figura 2, a seguir, tal que quando a mola estivesse fechada y fosse positivo, e  quando  ela  estivesse  esticada  y  fosse  negativo.   Tal  decis˜ao  foi  feita  para que ao ajustar uma curva, essa fosse sim´etrica.

[pic 10]

Figura 2: Eixo de coordenadas

Ainda  pensando  no  ajuste  do  gr´afico  que  obteremos  com  os  dados  do Tracker,  devemos achar os coeficientes poss´ıveis de serem encontrados para formarmos  a  equa¸c˜ao  2.   Para  encontrar  o  valor  de  ω,  usamos  a  seguinte equa¸c˜ao:

[pic 11]

ω =                k m[pic 12][pic 13]

O valor de k, obtemos com a Lei de Hooke, usando a for¸ca peso:

---

(4)

F = k ∗ ∆x = mg        (5)

Com as filmagens foi poss´ıvel medir a mola em seu estado normal e esticada:[pic 14]

Substituindo  os  valores,  tal  que  m  =  0, 23kg  ;  g  =  9, 8m/s2 e  ∆x  = 0, 019m.  Descobrimos,  ent˜ao,  que k = 103, 16kg/s2,  continuando,  obtemos: ω = 22, 71s−1

No SciDAVis, os dados de tempo e deslocamento vertical foram dispostos como x e y, respectivamente, a curva ajustada, baseada na equa¸c˜ao 2, foi:

y = AeBxcos(Cx + D)        (6)

Os  valores  da  amplitude  (A)  e  a  frequˆencia  angular  (C),  foram  dados  para que as outras constantes fossem encontradas, obtivemos os seguintes dados da Figura 3.

[pic 15]

Figura 3:  Gr´afico do movimento da mola

A	0,024
B	-0,57
C	21,03
D	-1,67

Da constante B, usamos as equa¸c˜oes vistas anteriormente:  −B = −γ =  −b , em  que  b ´e  a  constante  de  amortecimento,  com  valor  igual  ´a  0,26.  Ent˜ao  a equa¸c˜ao de movimento da mola ´e:[pic 16]

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