O USO DA EQUAÇÃO DE EULER-BERNOULLI NA PREVISÃO DA FLEXÃO DE VIGAS

2. INTRODUÇÃO

Dá-se o nome equações diferenciais a equações que envolvem tanto as derivadas

de uma função quanto a própria função. Como envolvem derivadas, estão

profundamente relacionadas com a variação ou taxa de processos, e desse modo

constituem ferramentas valorosas na construção de modelos matemáticos que

representam processos físicos.

É muitas vezes desejável descrever o comportamento de algum sistema ou

fenômeno da vida real em termos matemáticos, quer sejam eles físicos, sociológicos

ou mesmo econômicos.

Como hipóteses sobre um sistema envolvem frequentemente uma

taxa de variação de uma ou mais variáveis, a descrição matemática

de todas essas hipóteses pode ser uma ou mais equações

envolvendo derivadas. Em outras palavras, o modelo matemático

pode ser uma equação diferencial ou um sistema de equações

diferenciais. (CUNHA, 2011, p. 7)

As equações diferenciais estão presentes em quase todos os tipos de estudo, não

só em áreas de engenharia como em física, biologia, estatística entre outras, o que

faz o seu estudo de grande importância. (ZILL, 2001)

Na engenharia mecânica em especial, as equações diferenciais são usadas em

vários casos para essas finalidades. Serão apresentadas brevemente algumas

dessas aplicações.

Antes é necessário fazer uma introdução sobre conceitos básicos particulares do

tema das equações diferenciais. Para melhor entendimento do trabalho será feito

uma apresentação superficial das equações diferenciais priorizando as principais

definições para facilitar o entendimento da utilização dessa ferramenta. Após expor

os principais conceitos das equações diferenciais, será apresentada a base para o

estudo de vigas assim como as forças que atuam sobre a mesma.

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3. EQUAÇÕES DIFERENCIAIS

3.1. CLASSIFICAÇÃO POR TIPO

A equação diferencial pode ser de dois tipos: ordinária e parcial.

Uma equação diferencial ordinária (EDO) é caracterizada por apresentar derivadas

ordinárias de uma ou mais variáveis dependentes em relação a uma única variável

independente.





=  + ²





= 2 + 3

²

²

+ 3





− 17 = 0

são algumas equações diferenciais ordinárias. (ZILL, 2001)

Uma equação diferencial parcial (EDP) envolve funções com muitas variáveis

dependentes de duas ou mais variáveis independentes e suas derivadas parciais.

²

²

+ 5





+ 3 = 0





+ cos  = 0

são algumas equações diferenciais parciais. (ZILL, 2001)

3.2. CLASSIFICAÇÃO POR ORDEM

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Diz-se que a ordem de uma equação diferencial é a maior ordem de derivada que

aparecer na equação.

Desse modo, a equação 

 = 2 + 3 é de primeira ordem, a equação ²

² + 5 

 +

3 = 0 é de segunda ordem (ZILL, 2001). Generalizando, a equação

(, , ′,…, ( = 0

é uma equação diferencial ordinária de ordem n.

3.3. CLASSIFICAÇÃO POR LINEARIDADE

Uma equação diferencial pode ainda ser classificada por sua linearidade. É linear

uma equação diferencial

(, , ′,…, ( = 0

desde que F seja uma função linear das variáveis , ′,…, (. A forma geral de uma

equação diferencial ordinária linear de ordem  é

!(( + "((#" + ⋯+ ( = %(

A definição de linearidade para as equações diferenciais parciais é análoga

(BOYCE, 2001).

Para uma equação não ser linear, basta que não esteja na forma geral indicada

anteriormente. Mais claramente, quando há uma função não linear entre as funções

da equação. Isso ocorre quando, por exemplo, há um produto como ′ ou 

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envolvido na equação. Equações dessa forma são chamadas de não lineares. Um

exemplo não-linear é

′′′ + 2&'′′ + ′ = (

Há