O cálculo de energia do sistema de partículas e de aplicação do teorema do trabalho e energia cinética

ETAPA № 3

Aula-tema: Trabalho e Energia.

Esta atividade é importante para que você aprenda como calcular a energia de um sistema de partículas e aplicar o teorema do trabalho e energia cinética a esse sistema. Além disso, você poderá comparar os resultados da mecânica clássica com a mecânica relativística. Espera-se que você perceba qual é o limite de validade da aproximação clássica da mecânica e quais são os fatores mais importantes para definir o limite de aplicação de um modelo.

Passo 1 – Determine quais seriam os valores de energia cinética Ec de cada próton de um feixe acelerado no LHC, na situação em que os prótons viajam as velocidades: v1 = 6,00×107 m/s (20% da velocidade da luz), v2 = 1,50×108 m/s (50% da velocidade da luz) ou v3 = 2,97×108 m/s (9% da velocidade da luz). Atenção: Cuidado com os erros de arredondamento!

Passo 2 – Sabendo que para os valores de velocidade do Passo 1, o cálculo relativístico da energia cinética nos dá: Ec1 = 3,10×10-12 J, Ec2 = 2,32×10-1 J e Ec3 = 9,14×10-10 J, respectivamente; determine qual é o erro percentual da aproximação clássica no cálculo da energia cinética em cada um dos três casos. O que você pode concluir? icaRelativístc Clássica c E

E Erro

Passo 3 – Considerando uma força elétrica Fe = 1,0 N (sobre os 1×1015 prótons do feixe), na situação sem atrito, determine qual é o trabalho W realizado por essa força sobre cada próton do feixe, durante uma volta no anel acelerador, que possui 27 km de comprimento.

Passo 4 – Determine qual é o trabalho W realizado pela força elétrica aceleradora Fe, para acelerar cada um dos prótons desde uma velocidade igual a 20% da velocidade da luz até 50% da velocidade da luz, considerando os valores clássicos de energia cinética, calculados no Passo 1. Determine também qual é a potência média total P dos geradores da força elétrica (sobre todos os prótons), se o sistema de geração leva 5 µs para acelerar o feixe de prótons de 20% a 50% da velocidade da luz.

ETAPA № 4

Aula-tema: Momento Linear e Impulso.

Esta atividade é importante para que você aprenda a determinar o centro de massa de um sistema de partículas. Você deverá também usar os princípios de conservação da energia cinética e do momento linear para resolver matematicamente a colisão que ocorre entre dois feixes acelerados no LHC.

As informações de massa, velocidade, momento linear e energia são importantíssimas no estudo científico. A partir do instante em que ocorre a colisão entre os dois feixes acelerados, uma série de fenômenos físicos altamente energéticos é desencadeada e, através da detecção das partículas emitidas após a colisão, os cientistas conseguem estudar a explosão inicial do Universo.

Nesse e nos próximos passos iremos trabalhar na condição em que todos os feixes possuem velocidades de até 20% da velocidade da luz, para que possamos aplicar os cálculos clássicos de momento e energia, sem cometer um grande erro nos cálculos.

Passo 1 – Determine a posição do centro de massa do sistema composto por um feixe de prótons (P) que irá colidir com um feixe de núcleos de chumbo (Pb), no interior do detector ATLAS, supondo que ambos os feixes se encontram concentrados nas extremidades opostas de entrada no detector, com uma separação de 46 m entre eles. O feixe de prótons possui

1×1015 prótons, enquanto o de chumbo possui 3×1013 núcleos. Lembre-se que a massa de cada núcleo de chumbo vale 207 vezes a massa de um próton.

Figura 5: Colisão entre um próton (P) e um núcleo de chumbo (Pb) que viajam em sentidos opostos no interior do detector ATLAS, no LHC.

Passo 2 – Calcule o vetor momento linear total pr de cada feixe descrito no Passo 1, sendo as velocidades escalares vP = 6,00×107 m/s e vPb = 5,00×106 m/s. Em seguida calcule o valor do momento linear total Pr do sistema de partículas.

P Pb

Passo 3 – Considere agora que cada próton colide elasticamente apenas com um núcleo de chumbo, sendo a velocidade de cada um deles dada no Passo 2. Nessa condição, um cientista observou que após uma dessas colisões o núcleo de chumbo se dividiu em 3 fragmentos, tendo o primeiro massa 107 vezes maior que a massa do próton e os outros dois massas iguais, de valor 50 vezes maior que a massa do próton. Os dois fragmentos menores foram observados em regiões diametralmente opostas no interior do detector ATLAS, cada um em uma direção formando um ângulo de 30 graus com a direção da reta de colisão, conforme esquematizado na figura 6. Nessas condições, determine quais são os módulos das velocidades do próton, do fragmento maior e dos fragmentos menores de chumbo após a colisão, sabendo que o módulo da velocidade dos fragmentos menores é igual ao dobro do módulo da velocidade do fragmento maior.

Observe a direção e o sentido dos vetores velocidade, após a colisão!

Atenção: Cuidado com os erros de arredondamento!

Figura 6: Fragmentos atômicos gerados após a colisão entre um próton (P) e um núcleo de chumbo (Pb) no interior do detector ATLAS, no LHC. As setas em vermelho indicam a direção e o sentido dos vetores velocidade de cada um dos fragmentos após a colisão.

Passo 4 – Sabendo que a detecção dos fragmentos é realizada no momento em que cada um deles atravessa as paredes do detector e considerando a colisão descrita no Passo 3, determine qual é o impulso transferido à parede do detector ATLAS pelo próton PJr e pelo fragmento maior de chumbo 107PbJr , após a colisão. Considere que após atravessar a parede a velocidade do próton P se tornou 10 vezes menor que e a calculada no Passo 3, enquanto a velocidade final do fragmento de chumbo Pb107 (após atravessar a parede do detector) se tornou 50 vezes menor que a calculado no Passo 3.

Resposta:

Etapa 3

Passo 1 – Determine quais seriam os valores de energia cinética Ec de cada próton de um feixe acelerado no LHC, na situação em que os prótons viajam as velocidades: v1 = 6,00×107 m/s (20% da velocidade da luz), v2 = 1,50×108 m/s (50% da velocidade da luz) ou v3 = 2,97×108 m/s (99% da velocidade da luz). Atenção: Cuidado com os erros de arredondamento!

Ec=m*v22

Ec1=1,67*10-27*6*10722