PROBABILIDADE

PROBABILIDADE

1 – Introdução

Chama-se experimento aleatório àquele cujo resultado é imprevisível, porém pertence necessariamente a um conjunto de resultados possíveis denominado espaço amostral.

Qualquer subconjunto desse espaço amostral é denominado evento.

Se este subconjunto possuir apenas um elemento, o denominamos evento elementar.

Por exemplo, no lançamento de um dado, o nosso espaço amostral seria U = {1, 2, 3, 4, 5, 6}.

Exemplos de eventos no espaço amostral U:

A: sair número maior do que 4: A = {5, 6}

B: sair um número primo e par: B = {2}

C: sair um número ímpar: C = {1, 3, 5}

Nota: O espaço amostral é também denominado espaço de prova.

Trataremos aqui dos espaços amostrais onde os eventos elementares possuem a mesma chance de ocorrerem.

Por exemplo, no lançamento do dado acima, supõe-se que sendo o dado perfeito, as chances de sair qualquer número de 1 a 6 são iguais. Temos então um espaço equiprovável.

Em oposição aos fenômenos aleatórios, existem os fenômenos determinísticos, que são aqueles cujos resultados são previsíveis, ou seja, temos certeza dos resultados a serem obtidos.

Normalmente existem diversas possibilidades possíveis de ocorrência de um fenômeno aleatório, sendo a medida numérica da ocorrência de cada uma dessas possibilidades, denominada Probabilidade.

Consideremos uma urna que contenha 49 bolas azuis e 1 bola branca. Para uma retirada, teremos duas possibilidades: bola azul ou bola branca. Percebemos, entretanto que será muito mais frequente obtermos numa retirada, uma bola azul, resultando daí, podermos afirmar que o evento "sair bola azul" tem maior probabilidade de ocorrer, do que o evento "sair bola branca".

2 – Conceito elementar de Probabilidade

Seja U um espaço amostral finito e equiprovável e A um determinado evento ou seja, um subconjunto de U. A probabilidade p(A) de ocorrência do evento A será calculada pela fórmula :

p(A) = n(A) / n(U)

onde:

n(A) = número de elementos de A

n(U) = número de elementos do espaço de prova U.

EXEMPLOS:

1 - Considere o lançamento de um dado. Calcule a probabilidade de:

a) sair o número 3

b) sair um número par

c) sair um múltiplo de 3

d) sair um número menor do que 3

e) sair um quadrado perfeito

2 - Considere o lançamento de dois dados. Calcule a probabilidade de:

a) sair a soma 8

b) sair a soma 12

3 – Uma urna possui 6 bolas azuis, 10 bolas vermelhas e 4 bolas amarelas. Tirando-se uma bola com reposição, calcule as probabilidades seguintes:

a) sair bola azul

b) sair bola vermelha

c) sair bola amarela

3 – Propriedades

P1: A probabilidade do evento impossível é nula.

Com efeito, sendo o evento impossível o conjunto vazio (Ø), teremos:

p(Ø) = n(Ø)/n(U) = 0/n(U) = 0

Por exemplo, se numa urna só existem bolas brancas, a probabilidade de se retirar uma bola verde (evento impossível, neste caso) é nula.

P2: A probabilidade do evento certo é igual a unidade.

Com efeito, p(A) = n(U)/n(U) = 1

Por exemplo, se numa urna só existem bolas vermelhas, a probabilidade de se retirar uma bola vermelha (evento certo, neste caso) é igual a 1.

P3: A probabilidade de um evento qualquer é um número real situado no intervalo real [0, 1].

Esta propriedade, decorre das propriedades 1 e 2 acima.

P4: A soma das probabilidades de um evento e do seu evento complementar é igual a unidade.

Seja o evento A e o seu complementar A'. Sabemos que A U A' = U.

n(A U A') = n(U) e, portanto, n(A) + n(A') = n(U).

Dividindo