Processo de Gram-Schmidt

Sum´ario

1 Conceitos B´asicos 1

1.1 Introdu¸c˜ao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1.2 Espa¸co Vetorial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

1.3 Processo de Gram-Schmidt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

1.4 Proje¸c˜ao Ortogonal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

1.5 Auto-Valores e Auto-Vetores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

1.6 Exerc´ıcios Complementares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

2 An´alise de Arredondamento em Ponto Flutuante 32

2.1 Introdu¸c˜ao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

2.2 Sistema de N´umeros Discreto no Computador . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

2.3 Representa¸c˜ao de N´umeros no Sistema F(β, t, m, M) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

2.4 Opera¸c˜oes Aritm´eticas em Ponto Flutuante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

2.5 Efeitos Num´ericos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

2.5.1 Cancelamento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

2.5.2 Propaga¸c˜ao do erro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

2.5.3 Instabilidade Num´erica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

2.5.4 Mal Condicionamento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

2.6 Exerc´ıcios Complementares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

3 Equa¸c˜oes n˜ao Lineares 55

3.1 Introdu¸c˜ao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

3.2 Itera¸c˜ao Linear . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

3.3 M´etodo de Newton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

3.4 M´etodo das Secantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

3.5 M´etodo Regula Falsi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74

3.6 Sistemas de Equa¸c˜oes n˜ao Lineares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77

3.6.1 Itera¸c˜ao Linear . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77

3.6.2 M´etodo de Newton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79

3.7 Equa¸c˜oes Polinomiais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82

3.7.1 Determina¸c˜ao de Ra´ızes Reais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83

3.7.2 Determina¸c˜ao de Ra´ızes Complexas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86

3.7.3 Algoritmo Quociente-Diferen¸ca . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91

3.8 Exerc´ıcios Complementares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94

3.9 Problemas Aplicados e Projetos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97

i

4 Solu¸c˜ao de Sistemas Lineares: M´etodos Exatos 108

4.1 Introdu¸c˜ao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108

4.2 Decomposi¸c˜ao LU . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113

4.3 M´etodo de Elimina¸c˜ao de Gauss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119

4.4 M´etodo de Gauss-Compacto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127

4.5 M´etodo de Cholesky . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130

4.6 M´etodo de Elimina¸c˜ao de Gauss com Pivotamento Parcial . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135

4.7 Refinamento da Solu¸c˜ao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137

4.8 Mal Condicionamento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140

4.9 C´alculo da Matriz Inversa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143

4.10 Exerc´ıcios Complementares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146

4.11 Problemas Aplicados e Projetos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150

5 Solu¸c˜ao de Sistemas Lineares: M´etodos Iterativos 156

5.1 Introdu¸c˜ao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156

5.2 Processos Estacion´arios. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156

5.2.1 M´etodo de Jacobi-Richardson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158

5.2.2 M´etodo de Gauss-Seidel. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162

5.3 Processos de Relaxa¸c˜ao . . . . . . . .