Produto Escalar

Vetores

Produto escalar

Dados os vetores u=(a,b) e v=(c,d), definimos o produto escalar entre os vetores u e v, como o número real obtido por:

u.v = a.c + b.d

Exemplos:

O produto escalar entre u=(3,4) e v=(-2,5) é:

u.v = 3.(-2) + 4.(5) = -6+20 = 14

O produto escalar entre u=(1,7) e v=(2,-3) é:

u.v = 1.(2) + 7.(-3) = 2-21 = -19

Propriedades do produto escalar

Quaisquer que sejam os vetores, u v e w e k escalar:

v.w = w.v

v.v = |v| |v| = |v|2

u.(v+w) = u.v + u.w

(kv).w = v.(kw) = k(v.w)

|kv| = |k| |v|

|u.v| <= |u| |v| (desigualdade de Schwarz)

|u+v| <= |u| + |v| (desigualdade triangular)

Obs: <= significa menor ou igual

Ângulo entre dois vetores

O produto escalar entre os vetores u e v pode ser escrito na forma:

u.v = |u| |v| cos(x)

onde x é o ângulo formado entre u e v.

Através desta última definição de produto escalar, podemos obter o ângulo x entre dois vetores genéricos u e v, como:

desde que nenhum deles seja nulo.

Vetores ortogonais

Dois vetores u e v são ortogonais se:

u.v = 0

O produto escalar de dois vetores A e B, que se representa por \cdot ou ainda por um traço vertical | é o resultado do produto do comprimento (também chamado de norma ou módulo) de B pela projeção escalar de A em B.6

\bold{A}\cdot\bold{B} = \left\|\bold{A}\right\|\left\|\bold{B}\right\|\cos\theta

Onde θ é o ângulo formado pelos vetores e ||A|| e ||B|| são seus comprimentos.

Essa expressão somente contém uma definição do comprimento de um vetor como a raiz quadrada do seu produto escalar, mas não fornece meios de se calcular o comprimento do vetor.

\bold{A}\cdot\bold{A} = \left\|\bold{A}\right\|\left\|\bold{A}\right\|\cos0 = \left\|\bold{A}\right\|^2

Entretanto, essa expressão permite o cálculo do ângulo θ entre os vetores:6

\theta = \arccos{\frac{\bold{A}\cdot\bold{B}}{\left\|\bold{A}\right\|\left\|\bold{B}\right\|}}

Note que não é necessário mencionar nenhum sistema de coordenadas para se obter o valor do produto escalar. A formula acima é válida independente do sistema de coordenadas.

Fisicamente, se A fosse uma força, o produto escalar mediria o quanto da força A estaria sendo aplicada na direção de B. Isto só é válido, entretanto, se o vetor B for unitário. Do contrário, a magnitude da projeção de A em B ("o quanto da força A está aplicado na direção de B") deve ser obtida por A · (B / |B|), visto que B / |B| representa o vetor unitário na direção de B.

Algébrica[editar | editar código-fonte]

Em um sistema de coordenadas ortonormal de n dimensões, onde escrevemos os vetores A e B em termos de componentes como

\bold{A} = \left( a_1, a_2, \cdots, a_n \right) e

\bold{B} = \left( b_1, b_2, \cdots, b_n \right),

o produto escalar entre A e B é:7 6

\bold{A}\cdot\bold{B} = \sum_{i=1}^n a_ib_i = a_1b_1 + a_2b_2 + \cdots + a_nb_n

Note que a interpretação do produto escalar como a projeção do vetor na direção de outro, neste caso, está longe de ser óbvia. No entanto a expressão acima nos fornece uma forma de obter o comprimento de um vetor qualquer em termos de suas componentes:6

\left\|\bold{A}\right\| = \sqrt{\bold{A}\cdot\bold{A}} = \sqrt{a_1^2 + a_2^2 + \cdots + a_n^2}

Propriedades[editar | editar código-fonte]

O produto escalar de vetores tem as seguintes propriedades:6

\bold{A}\cdot\bold{B} = \bold{B}\cdot\bold{A} (comutativa).

\bold{A}\cdot\left(\bold{B}+\bold{C}\right) = \bold{A}\cdot\bold{B} + \bold{A}\cdot\bold{C} (distributiva em relação à soma de vetores).

\left(n_1\bold{A}\right)\cdot\left(n_2\bold{B}\right) = \left(n_1n_2\right)\left(\bold{A}\cdot\bold{B}\right)