REPOSIÇÃO DE ATIVIDADES DIDÁTICAS

Disciplina: Geometria Analítica        

Professor: Antônio Airton De Melo                            Período 2018.2

Aluno: Everton Clemente De Moura                                                                   Turma: 08

Data: 28/02/2019

REPOSIÇÃO DE ATIVIDADES DIDÁTICAS

• RETAS
• EQUAÇÃO VETORIAL DA RETA NO ESPAÇO

Uma reta pode ser determinada por meio de dois de seus pontos conhecidos ou por meio de um de seus pontos e sua inclinação.

Considere o ponto A(x1, y1, z1) e o vetor[pic 2] (a, b, c), não nulo. Sabemos que só existe uma reta r que passa pelo ponto A e tem direção do vetor /[pic 3].

. Para tal, um ponto P( x, y, z ) qualquer pertencente à reta r se , e somente se, o vetor [pic 4] é paralelo ao vetor[pic 5] , ou seja,

[pic 6], para qualquer t pertencente a r

Como [pic 7] pode ser escrito como [pic 8] , então temos que:

[pic 9]

Substituindo os pontos e o vetor da expressão pelas coordenadas dadas, temos:

[pic 10]

que é chamada equação vetorial da reta. O vetor [pic 11] é chamado vetor diretor da reta e t é o parâmetro (variável) da equação.

[pic 12]

[pic 13]

• EQUAÇÕES PARAMÉTRICAS DA RETA

As equações paramétricas da reta são úteis quando precisamos determinar as coordenadas de um ponto de uma reta r, do qual se sabe uma de suas coordenadas. Assim, as outras duas dependem da coordenada conhecida. Tomamos a equação vetorial de uma reta qualquer:

[pic 14]

Realizamos as operações indicadas no lado direito da equação:

[pic 15]

Pela condição de igualdade entre pontos e vetores, temos:

[pic 16]

que são as equações paramétricas de uma reta r qualquer.

[pic 17]

[pic 18]

•  RETA DEFINIDA POR DOIS PONTOS

Quando são fornecidos dois pontos conhecidos da reta A (x1, y1, z1) e B (x2,y2, z2), é possível obter o vetor diretor v da reta para então equacionar essa reta r. O vetor v = AB = B-A.

Assim:      v = (x2 - x1, y2 -y1, z2 - z1)

Dessa forma, a equação da reta r é:

(x, y, z) = (x1, y1, z1) + t(x2 - x1, y2 - y1, z2 - z1) ou

(x, y, z) = (x2,y2, z2) + t(x2 - x1, y2 - y1, z2 - z1) ou ainda:

x = x1 + (x2 - x1)t; y = y1 + (y2 -y1)t; z = z2 + (z2 - z1)

Exemplo:

Escreva as equações paramétricas da reta definida pelos pontos A(1,1,1) e B (2,3,5) :

Deve-se encontrar o vetor diretor primeiro para, depois, obter a equação da reta

v = B -A = (2-1, 3-1, 5-1), v = (1, 2, 4)    = vetor diretor.

P = B + tv.

x = 2 +1t; y= 3 + 2t; z = 5+ 4t.

Conclusão:  a reta r é representada por : (x, y, z) = (2, 3, 5) + t( 1, 2, 4).

• EQUAÇÕES SIMÉTRICAS DA RETA

As equações simétricas são obtidas a partir das equações paramétricas. Tem-se que as paramétricas são definidas por:

x = x1 + at; y = y1 + bt; z = z1 + ct.

Isolando o parâmetro (t) em cada equação, tem-se:

t=(x - x1)/a; t =  (y - y1 )/b; t =  (z - z1 )/c.

Desse modo: (x - x1)/a = (y - y1 )/b = (z - z1 )/c

Tais equações são denominadas equações simétricas, ou normais, da reta r que passa pelo ponto conhecido A (x1, y1, z1) , por um ponto qualquer P (x, y, z) e tem o vetor v (a, b, c) como vetor diretor.

Observação:

Para obter as equações simétricas da reta é necessário que o produto abc seja diferente de zero, isto é: abc ≠ 0

Exemplo:

Obter as equações simétricas da reta que passa pelo ponto A (3,0,5) e tem direção do vetor v (2, 2, -1):

Substituindo (2,2,-1) no lugar de (a, b,c) e (3, 0,5) em (x1, y1, z1), obtemos as equações da reta

(x-3)/2  =  (y-0 )/2=  (z-(-5) )/(-1).

Conclusão: as equações simétricas da reta são:(x-3)/2  = (y )/2  = (z+5 )/(-1)

• CONDIÇÃO DE ALINHAMENTO DE TRÊS PONTOS

Três pontos estão alinhados se, e somente se, pertencerem à mesma reta.

[pic 19]

Para verificarmos se os pontos estão alinhados, podemos utilizar a construção gráfica determinando os pontos de acordo com suas coordenadas posicionais. Outra forma de determinar o alinhamento dos pontos é através do cálculo do determinante pela regra de Sarrus envolvendo a matriz das coordenadas.

[pic 20]

Exemplo

Dados os pontos A (2, 5), B (3, 7) e C (5, 11), vamos determinar se estão alinhados.

[pic 21]

Diagonal principal

2 * 7 * 1 = 14

5 * 1 * 5 = 25

1 * 3 * 11 = 33

Diagonal secundária

1 * 7 * 5 = 35

2 * 1 * 11 = 22

5 * 3 * 1 = 15

Somatório diagonal principal – Somatório diagonal secundária

(14 + 25 + 33) – (35 + 22 + 15)

72 – 72 = 0

Os pontos somente estarão alinhados se o determinante da matriz quadrada calculado pela regra de Sarrus for igual a 0.

• EQUAÇÕES REDUZIDAS DA RETA

A partir das equações paramétricas podemos dar outra representação às equações da reta, isolando o parâmetro t de uma das equações e substituindo o valor de t nas outras duas equações. Para facilitar a compreensão vamos utilizar um caso particular.