RESPOSTA NO DOMÍNIO DA FREQUÊNCIA – DIAGRAMA DE BODE

1. Introdução

Quando uma entrada qualquer qi(t) excita um sistema linear estável em repouso ou equilíbrio, a resposta do sistema tem 2 trechos: 1° trecho = resposta completa (transitória + permanente);  2° trecho = resposta permanente. Ainda para sistema linear estável, se a entrada qi(t) for senoidal, a resposta permanente também será senoidal e com oscilação na mesma freqüência da entrada.

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Figura 1.1: Visualização dos trechos da resposta de um sistema quando a entrada é senoidal

Em um instante de tempo dentro do 2° trecho podemos fazer a superposição da entrada qi(t) com a resposta permanente qop(t). Desta forma, colocando os gráficos de qi(t) e qop(t) juntos, determina-se a Relação de Amplitudes Ao/Ai e o Ângulo de Fase φ.

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Figura 1.2: Superposição dos gráficos de qi(t) e qop(t)

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Figura 1.3:Exemplo de gráfico de resposta em freqüência Ao/Ai e φ em função de ω

Conforme podemos observar, um gráfico da resposta em freqüência é na verdade um conjunto de dois gráficos: gráfico de Ao/Ai e φ em função de ω.

Um recurso manual para a elaboração destes gráficos é o diagrama de Bode, o qual consiste em gráficos mono-log de Ao/Ai e φ em função de ω. Estes diagramas, são obtidos lançando-se nos eixos:

• “eixo x” da freqüência ⇒ escala logaritima, logω;
• “eixo y” da relação de amplitudes ⇒ relação de amplitudes em db (decibel);
• “eixo y” da fase ⇒ linear normal, em graus.

Onde, por definição, dB para a resposta em frequência corresponde a:

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Figura 1.4: Gráfico de resposta em freqüência de [pic 7]

1. Objetivos

Obter manualmente a curva de Resposta em Frequência (somente de Magnitude) e comparar com a curva obtida através do software MATLAB®

Construir a Função de Transferência (em Laplace) que resultará no gráfico da magnitude pela frequência (em dB) em escala mono-log.

Construir o gráfico Ao/Ai|dBcom a ajuda de retas correspondentes a cada tipo de sistema encontrado na Função de Transferência.

1. Metodologia

1. Fundamentação teórica do problema

Para a elaboração da Função de transferência que resultará no gráfico da magnitude pela frequência em dB.foi utilizado o valor do RA de um dos integrantes do grupo, de modo que a seguinte correspondência fosse respeitada:

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Assim, a F.T. será da forma:

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1. Obtenção da Função de Transferência

Utilizando o RA 496588, a função a ser representada graficamente no diagrama de Bode será:

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1. Diagrama de Bode

Trata-se de um gráfico, representado em papel mono-log, onde se tem a resposta em frequência. A construção deste gráfico, ou diagrama, pode ser realizada de duas formas, manual ou computacional.

O método manual é mais trabalhoso e seu resultado é menos preciso, porém, didaticamente é mais interessante, pois o mesmo, infere em uma maior compreensão do dinamismo de cada parte que influência no comportamento do sistema. Esse método desenvolve um maior senso crítico e auxilia para uma leitura e compreensão dos resultados, quando obtidos pelo método computacional, mais segura e eficiente. Para esse caso, foram utilizados ambos os métodos.

1. Método Manual

Para a construção dos diagramas de maneira manual, a função de transferência foi dividida em 5 partes, sendo elas:

• Primeira ordem com dinâmica de numerador;
• Segunda ordem com dinâmica de denominador;
• Derivador de segunda ordem;
• Ganho;
• Função de transferência completa.

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1. Primeira Ordem Numerador

A função de primeira ordem é da forma:

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Com os valores da função de transferência obtém-se:

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A constante multiplicativa é retirada da equação para ser usada posteriormente no ganho. Portanto, sabe-se que restou o número 9 no numerador. Tem-se a equação:

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Como a dinâmica é de numerador sabe-se que para ω→0 a reta da resposta em frequência coincide com a reta de 0 dB. Para ω→∞a reta tende a reta de inclinação de 20 dB que cruza a reta de 0 dB na frequência de corte ωC. Portanto o primeiro passo é a determinação da frequência de corte.

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Uma vez de posse das retas assíntotas foram escolhidos 3 pontos para serem feitas as correções. Tomou se as frequências

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Para se aplicar as correções aos pontos escolhidos deve se calcular [pic 18]

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Em posse destes valores foi consultada a tabela de correções de funções de primeira ordem e obteve-se os seguintes valores de correção

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Foram então traçadas as assíntotas na folha mono-log e por último marcados os pontos corrigidos. Tendo isto foi traçada a curva da resposta de primeira ordem.

1. Segunda Ordem Denominador

De forma análoga à anterior tem-se:

A função de segunda ordem com dinâmica de denominador é da forma:

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Com os valores da função de transferência obtém-se:

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Novamente a constante multiplicativa é retirada da equação para ser usada posteriormente no ganho. Portanto, sabe-se que restou o número 8 no denominador. Tem-se então a seguinte equação:

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Como a dinâmica é de denominador sabe-se que para ω→0 a reta da resposta em frequência coincide com a reta de 0 dB. Para ω→∞ a reta tende a reta de inclinação de -40 dB que cruza a reta de 0 dB na frequência de corte ωC. Portanto o primeiro passo é a determinação dos parâmetros.