Relatório Pêndulo Simples

CALCULANDO A GRAVIDADE LOCAL DE FEIRA DE SANTANA UTILIZANDO UM PÊNDULO SIMPLES

Fabiane O. Santana*, Franklin N. Adorno*, Ikaro Soares*, Joyce Mara B. Maia*, Lorrane C. Laranjeira*, Michelle Menezes*

Bacharelado Interdisciplinar em Energia e Sustentabilidade, CETENS, UFRB

(Dated: 29 de setembro de 2016)

O presente relatório teve como objetivo entender o pêndulo simples como um sistema oscilante para a obtenção de dados, analisando a influência do período no cálculo da gravidade local de Feira de Santana, realizando análise estatística e comparação de método de análise. Utilizando uma linha presa em um suporte e uma massa presa em sua extremidade, foram realizadas 10 medições do período com o uso de cronômetro digital em uma angulação inferior a 10°. O menor valor da gravidade achado foi de g=(9,73±0,13) m/s², um valor bem próximo gravidade local de Feira de Santana que é de 9,78 m/s², mesmo dentro da faixa de erro, pois houveram no decorrer do experimento erros operacionais. Além disso, o comprimento da corda utilizada interfere diretamente, pois quanto maior seu comprimento maior o período de oscilação e mais precisa a medida seria, também a corda apresentava torções, caracterizando um outro tipo de pendulo, pendulo de tração, que apresenta força restauradora diferente do pendulo simples onde a força é a gravidade, assim ressaltando a influência que erros de operação e influência de fatores externos podem causar no resultado do experimento.

1. INTRODUÇÃO

Os movimentos periódicos ou oscilatórios são aqueles que se repetem em intervalos regulares. Surpreendentemente, estamos cercados destes movimentos e nem nos damos conta, como: barcos oscilando no cais, movimento dos pistões nos motores dos carros, entre outros. Porém, isso não passou despercebido aos olhos do grande físico e astronomo Galileu Galilei, onde, reza a lenda que, ao observar o movimento oscilatório de um lustre na Catedral de Pisa concluiu que o período do pêndulo parece independer da amplitude e então teve a brilhante ideia de fazer medidas de tempo através destas oscilações. Todavia, naquele tempo não havia sido inventado o relógio e foi aí que o mesmo comparou a medida de tempo com as batidas de seu próprio pulso. Percebeu assim que o pêndulo poderia ser um instrumento importante para medir o tempo. O aparelho veio a se tornar extremamente popular entre os médicos muito rapidamente, contribuindo desta maneira, para a medicina além da mecânica, óptica, acústica, entre outros.

Dentre os inúmeros tipos de pêndulos existentes, o pêndulo simples foi o utilizado neste experimento, o qual consiste em um peso de massa m suspenso por um fio inextensível de comprimento L e de massa desprezível, que se encontra preso a um ponto fixo. Deslocada da posição de equilíbrio ( e solto (, o pêndulo oscilará em um plano vertical e o corpo de massa m fica sujeita a uma força restauradora associada à gravidade.[pic 1][pic 2]

A utilização desse tipo de pêndulo é apropriada, pois o mesmo oscila com amplitude pequena, isto é, com amplitude muito menor do que o comprimento do fio.

1. Fundamentação teórica

Para entendermos melhor o movimento de um pêndulo, temos que ter conhecimento de que o mesmo se trata de um sistema composto por uma massa presa a um fio onde este pode se mover livremente, o movimento do corpo descreve um arco de circunferência.

A componente do peso, tangencial ao deslocamento é à força de restauração desse movimento, porque age no corpo de modo a trazê-lo de volta à sua posição central de equilíbrio [2]. A componente do peso, perpendicular ao deslocamento é equilibrada pela tração exercida pelo fio, como mostra a Figura 01.

[pic 3]

Figura 01 – Análise das forças que atuam num pêndulo simples para ([pic 4]

As forças importantes que atuam sobre o corpo são: a força peso (P), exercida pela Terra, e a tensão (T), exercida pelo fio. Em módulo temos as resultantes das forças Px e Py:

                              (1)[pic 5]

                              (2)[pic 6]

        Em um sistema de referência em que um dos eixos tenha a direção do fio e o outro seja tangente à trajetória circular percorrida pela massa (m) a resultante das forças radiais origina a força centrípeta necessária para manter a trajetória circular. A componente tangencial do peso constitui a força restauradora que atua em m que faz com que o corpo tenda a voltar à posição de equilíbrio[4]. A força restauradora será:

                                    (3)[pic 7]

O deslocamento ao longo do arco é x = L.θ, e para pequenos ângulos, o movimento será praticamente retilíneo. Portanto, supondo senθ ≈ θ = x/L, podemos escrever da equação (3) que:

                           (4)[pic 8]

                         .                     (5)[pic 9]

ou seja, a aceleração é proporcional ao deslocamento. Comparando a equação (5) com a aceleração no MHS, é dada por   podemos escrever:[pic 10]

                   (6)[pic 11]

Com uso da equação acima podemos calcular o período do movimento, que se trata do tempo necessário para o objeto percorrer toda a trajetória.

Logo, observa-se que o período do pêndulo simples independe de sua massa e a aceleração da gravidade pode ser obtida da seguinte relação:

                                              (7)[pic 12]

Onde L é o comprimento do fio e g a gravidade.

O pêndulo realiza um movimento bidimensional no plano XY e é possível observar que a partir da segunda lei de Newton obtemos a seguinte equação diferencial ordinária não-linear:

              (8)[pic 13]

onde [pic 14]

A Eq. 8 é a equação de movimento do oscilador harmônico. Ao expandirmos senθ em série de potências temos: