Roldanas e cadernais

Roldanas e cadernais

ficha de trabalho elaborada por Pedro Esteves (2001)

Para Herão de Alexandria (que viveu na 2ª metade do século II A.C.), todas as máquinas são uma combinação de máquinas simples.

A roldana era uma das máquinas simples de Herão de Alexandria.

Ela não permite poupar força a quem a usa, pois a potência (P) necessária para levantar um determinado peso é igual à resistência (R) deste. Mas permite exercer essa força com um sentido mais cómodo, de cima para baixo, aproveitando a ajuda do peso de quem a exerce.

O cadernal é uma combinação de roldanas, portanto uma máquina composta, segundo Herão. Ele permite “elevar grandes cargas com os músculos de um só homem. Foi com cadernais destes que Arquimedes, para assombro dos siracusanos, levou um barco do estaleiro naval para o mar, com tripulação e tudo.” (Guerra, 1995; pp. 59-60)

1. Actividade de experimentação

Num cadernal como o figurado e dispondo de um objecto para desempenhar o papel de R e de um conjunto de moedas para o papel de P, determinar a potência necessária para vencer a resistência dada. Procurar anular a influência do peso da própria roldana, se este não puder ser considerado desprezável.

2. Actividade de conjecturação

No caso anterior, medir as deslocações da potência (DP) e da resistência (DR).

Enunciar uma conjectura sobre a relação que existe entre os valores de P, de R, de DP e de DR.

3. Actividade de dedução

Considerando uma sucessão de cadernais, com, respectivamente, 3, 4, 5, ..., N roldanas, qual a expressão geral para a potência P necessária para vencer uma resistência R ?

Referências:

Bolt, Brian (1994). Matemáquinas. Lisboa: Gradiva.

Esteves, Pedro (2001). A Matemática e as Profissões. Sessão Prática dinamizada no XI Encontro Regional de Professores de Matemática organizado pelo Núcleo de Almada-Seixal da A.P.M., a publicar nas respectivas Actas.

Guerra, Franklin (1995). História da Engenharia em Portugal. Porto: edição do autor.

Soluções:

1. Potência necessária para 2 roldanas em série: metade da resistência dada.

2. Enquanto a potência é metade da resistência, a deslocação de P é o dobro da deslocação de R. Assim, é constante o produto de cada uma destas forças pelo respectivo deslocamento, ou seja, P x DP = R x DR, o que em Física é conhecido como princípio da conservação do trabalho.

3. Segundo os princípios que regulam a estática, cada uma das roldanas que se encontra suspensa pelos dois ramos de um cabo divide igualmente por eles o peso que suporta. Deste modo, na última roldana, R é subdividido em R / 2 + R / 2; na penúltima roldana, R / 2 é subdividido em R / 4 + R / 4; e assim sucessivamente.