Simulação de sistemas reais de um pêndulo amortecido

SIMULAÇÃO DE SISTEMAS REAIS DE UM PÊNDULO AMORTECIDO sIMULINK PARA RESOLUÇÃO DE SISTEMAS REAIS

Henrique Ossamu Hisano Natori – [e-mail]

Saviano Luz Scarpin – [e-mail]

Universidade Federal de São Carlos – UFSCar

Centro de Ciências Exatas e de Tecnologia – CCET

Curso de Engenharia Mecânica

Rod. Washington Luís, km 235 - CEP 13.565-905 - São Carlos - SP

Resumo: O movimento oscilatório amortecido de sistemas de um grau de liberdade é amplamente estudado e tem modelos matemáticos bem definidos. Este projeto tem como objetivo a realização de ensaios e simulações do movimento de uma barra pendular sujeita a amortecimento viscoso e por atrito seco, a fim de comparar e verificar a validade dos modelos estudados na dsiciplina de Vibrações Mecânicas.

Palavras-chave: Pêndulo amortecido, Amortecimento viscoso, Atrito seco, Simulink

1. introdução

A simulação realizada pretende demonstrar um entendimento mais profundo e matemático das relações que envolvem um pêndulo amortecido. Para esse experimento foram utilizados dois tipos de amortecimento: o amortecimento seco e amortecimento viscoso.

1. Vibrações Mecânicas

De acordo com a TYPE et al. (2013), empresa especializada em testes mecânicos, vibrações são “Movimentos oscilatórios em torno de um ponto de referência pré-definido”, em tradução livre. De acordo com essa definição podemos enquadrar o projeto de um pêndulo mecânico como sendo um projeto de vibração.

Ao utilizarmos ferramentas computadorizadas, para a análise do mesmo, diversas formas de se expressar a relação existente entre os parâmetros estudados podem ser feitas desde equações polinomiais a equações sinusoidais e cossenoides. Após um determinado número de ciclos a análise por meio de equações polinomiais torna-se impraticável devido ao fato de limitações computacionais. Desta forma a análise por relações senoidais ou cossenoides são as mais utilizadas. (Charles M. Close, 2013)

Para Charles M. Close (2013, p.38 e p.75), salvo suas devidas constantes:

Uma análise computacional simulada pelo MATLAB® com equação da forma:

[pic 1]

Pode ser expressa da seguinte forma:

Figura 1. Modelo Simulink® de função matemática

[pic 2]

Desta forma utilizaremos o MATLAB® para a simulação proposta uma vez que as ferramentas computacionais dentro de seu plugin Simulink® possui os pré-requisitos do projeto.

1. Recursos e uso da vibração

As análises de vibrações mecânicas são importantes pois muitos fatores não considerados podem trazer resultados indesejados ao passarmos para o modelo real. Exemplos de fatores vibracionais não considerados são listados na literatura e estudados a fundo a fim de que não se aconteçam novamente como é o caso da ponte Tacoma Narrow Bridge^[1] e do helicóptero CH-47^[2].

Ao não analisarem as interações do vento na ponte o módulo de vibração que se encontrava, o mesmo do vento em questão, a ponte entrou em ressonância e veio à fadiga. O mesmo fato se encontrou no helicóptero que em desaceleração a frequência de excitação ressoava com a da estrutura e em pousos o helicóptero se desintegrava.

Este foi um breve panorama sobre os recursos que têm sido utilizados pela análise de vibrações e com quais intuitos, a fim de estudar e aprender para aplicar em projetos, ela é aplicada.

1. OBJETIVOS

Com este trabalho pretende-se demonstrar algumas possibilidades de análise de oscilação em um pêndulo amortecido por diferentes forças. Num segundo momento pretendemos abordar dois diferentes resultados simulados com seus respectivos dados experimentais.

1. modelagem matemática

1. Amortecimento viscoso

Figura 2. Pêndulo submetido a amortecimento viscoso

[pic 3]

O torque de amortecimento viscoso é dado por:

[pic 4]

(1)

onde:

 – torque de amortecimento viscoso[pic 5]

ct – constante de amortecimento viscoso por torção

 – velocidade angular do pêndulo[pic 6]

Considerando que o pêndulo se desloca em pequenos ângulos (menores que 30°), utilizaremos a aproximação da função seno por sua série de Taylor de primeira ordem:

[pic 7]

(2)

onde:

 – deslocamento angular do pêndulo[pic 8]

Pelo método Newton-Euler, temos que o movimento é dado pela seguinte equação:

[pic 9]

(3)

ou

[pic 10]

(4)

onde:

 – aceleração angular[pic 11]

 – momento de inércia de massa[pic 12]

 – massa[pic 13]

 – aceleração da gravidade[pic 14]

 – comprimento da barra pendular[pic 15]

O valor de  utilizado nas simulações será obtido por meio de dados do pêndulo e de seu comportamento experimental:[pic 16]

[pic 17]

(5)

onde:

 – decremento logaritmico[pic 18]

 – valor do deslocamento angular em um pico[pic 19]

 – valor do deslocamento angular no pico seguinte a [pic 20][pic 21]

A partir do decremento logaritmico, obtém-se o fator de amortecimento:

[pic 22]

(6)

onde:

 – fator de amortecimento[pic 23]

Da equação de movimento, tem-se:

[pic 24]

(7)

e

[pic 25]

(8)

onde:

 – frequência natural[pic 26]

Aplicando as equações (5), (6) e (7), e isolando  na equação (8), obtém-se o valor da constante de amortecimento necessária para alimentar o modelo construído no Simulink.[pic 27]