Supercondutores

Universidade Federal do Paraná

Setor de Ciências Exatas

Departamento de Física

Física Geral B – Prof. Dr. Ricardo Luiz Viana

Aula 6: Aplicações da Lei de Gauss

Recordando a Lei de Gauss: o fluxo elétrico através de uma superfície fechada (“gaussiana”) é proporcional à carga líquida que está envolvida pela superfície.

Matematicamente:

onde q´ representa apenas a porção da carga que está envolvida pela gaussiana S.

εo = 8,85 x 10 -12 C2/N.m2: constante de permissividade

Podemos utilizar a Lei de Gauss para calcular o campo elétrico produzido por distribuições contínuas de carga, quando as mesmas exibirem algum tipo de simetria espacial.

1º. Caso: Simetria Cilíndrica

Campo elétrico de uma barra não-condutora infinitamente longa e uniformemente carregada: superfície gaussiana S é um cilindro de raio r e altura h

Considerações de simetria:

(i) o campo elétrico tem direção radial, ou seja, é perpendicular a todos os pontos da lateral da gaussiana cilíndrica;

(ii) o campo elétrico tem o mesmo módulo em todos os pontos da lateral da gaussiana.

Usando a consideração (i), E tem direção radial

Base 1: como E é perpendicular a dA, θ = 90o, cos 90o = 0, E . dA = 0

Base 2: novamente E é perpendicular a dA, θ = 90o, cos 90o = 0, E . dA = 0

Lateral: como E é paralelo a dA, θ = 0o, cos 0o = 1, E . dA = E dA

Usando a consideração (ii) E é constante ao longo da lateral

pois a área da superfície lateral do cilindro (retângulo) é o comprimento da base (2πr) multiplicado pela altura h.

Carga envolvida pela gaussiana: como a barra está uniformemente carregada, a parte dentro da gaussiana cilíndrica tem comprimento h. Densidade linear de carga λ = q/h. q = λ h.

Lei de Gauss: Ф = q/εo

E(2πr)h = λ h/εo

O campo elétrico gerado pela barra cai com o inverso da distância (não é uniforme!). As linhas de força têm direções radiais a partir da barra. Se a carga da barra é positiva as linhas apontam para fora da barra, caso contrário (carga negativa) apontam para dentro.

Problema resolvido: Um longo tubo metálico de raio R = 3,0 cm, com paredes condutoras finas, tem uma densidade linear de cargas λ = 2,0 x 10-8 C/m. Determine o campo elétrico a distâncias r = 1,5 cm e r = 5,0 cm do eixo do tubo.

Solução: (a) r = 1,5 cm está dentro do tubo. A gaussiana S é um cilindro de raio r < R e altura h. O fluxo elétrico por S foi encontrado como sendo

Pela lei de Gauss Ф = q/εo, onde q = 0 é a carga envolvida pela gaussiana. Logo Φ = 0 e

E = 0.

(b) r = 5,0 cm está fora do tubo. Com uma gaussiana cilíndrica, o fluxo é o mesmo, mas a carga envolvida é q = λ h. Logo Ф = q/εo = λ h/εo = E fornece

Problema proposto: Uma barra cilíndrica condutora longa de comprimento L, com uma carga total +q, é envolvida por uma casca cilíndrica condutora (também de comprimento L) com uma carga total – 2q. Determine: (a) o campo elétrico em pontos fora da casca condutora; (b) a distribuição de carga sobre a casca condutora; (c) o campo elétrico entre a casca e a barra. Respostas: (a) E=-q/(2πεorL); (b) q´=-q, q´´=-q;(c) E=+q/(2πεorL);

2º. Caso: Simetria Plana

Campo Elétrico de uma Plano Infinito de Cargas: placa plana fina e infinitamente extensa, com uma carga distribuída uniformemente sobre sua superfície. A superfície gaussiana S é um cilindro que de raio da base r e altura 2r que intercepta a placa perpendicularmente.

Considerações de simetria:

(i) E é perpendicular à placa, em particular é perpendicular às bases do cilindro;

(ii) E é constante para todos os pontos a uma mesma distância r da placa, ou seja, constante para as bases do cilindro;

(iii) E aponta para fora dos dois lados da placa, se esta for positivamente carregado, e para dentro dos dois lados da placa se esta for negativamente carregada.

Usando a consideração (i) E é sempre perpendicular à placa

Base 1: como E é paralelo a dA, θ = 0o, cos 0o = 1, E . dA = E dA

Base 2: novamente E é paralelo a dA, θ = 0o, E . dA = E dA

Lateral: E é perpendicular a dA, θ = 90o, cos 90o = 0, E . dA = 0

Usando a consideração (ii) E é constante ao longo da lateral

Carga envolvida pela gaussiana: carga de um círculo de área A. Obs. Nem precisamos escrever A = π r2, pois a área é simplificada no cálculo. Densidade superficial de carga σ = q/A. q = σ A

Lei de Gauss: Ф = q/εo

2EA = σ A

O campo elétrico de um plano infinito é uniforme: não depende da distância r ao plano, e as linhas de força são paralelas entre si e perpendiculares ao plano de cargas

Se o plano está positivamente carregado, as linhas de campo afastam-se do plano em ambos os lados. Se o plano está