Tabela Integrais Imediatas

Lista de Calculo 1 – 3o Bimestre

 

        df ( )x        2

        1) Seja f uma função real diferenciável tal que         [pic 1] −3x + sen( )x =1. Assinale a

dx

alternativa correta para f ( )x sabendo que f (0) =1

.

1. f x( ) = x3 + cos(x) + x +C ,  C∈R 
2. f x( ) = x3 + cos(x) + x 
3. f ( )x = x3 + sen( )x + x +C ,  C∈R 
4. f ( )x = x3 + sen( )x + x 

 

2) Seja f f : R+ → R, R+ ={x∈R,  x > 0}, uma função definida por f ( )x =∫1[pic 2]dt 

t

df ( )x

diferenciável. Pode-se dizer que a função derivada         [pic 3] de f corresponde a: dx

1. x+1

1

1. [pic 4]−1 x
2. x−1 
3. x−2 

 

3) Calcule a integral [pic 5] a), sem usar antiderivada, interpretando-a

como área sob a curva  (semi-circulo) y= a2 −x2 , acima do eixo x no intervalo [0, t]. [pic 6]

 

 

Solução:

Baseado nas idenditades trigonométricas, temos que:           1−sen2θ= cos2θ  ou equivalentemente: a−a sen2θ=acos2θ  logo se considerarmos a substituição:

1. = a senθ  consequêntemente  dx = ac osθ dθ 

 

1. =[pic 7]

 

    =

 

 

Fazendo então esta substituição na integral, obtemos:

 

∫ a2 − x2dx =∫ a cosθ(a cosθ)dθ=∫ a2 cos2θdθ[pic 8]

 

 

        2        1+cos(2θ)

        mas,  cos θ=        [pic 9] 

        2         

 

[pic 10] 

        2 1        2 1        a2        a2        a2        a2

= a ∫ dθ+ a ∫ [pic 11]cos(2θ)dθ= θ+ [pic 12] sen(2θ) = θ+ [pic 13] 2senθcosθ+C

        2        2        2        4        2        4        

 

 

 

 

Voltando a variável x, temos:

        x = a senθ⇒ senθ= [pic 14]ax     logo ⇒ arc sen (senθ)= arc sen  [pic 15]ax          

⇒θ= arc sen  [pic 16]x 

                                                                a 

Por outro lado:

 

x = a senθ⇒ senθ= [pic 17]ax     mas     senθ= COH ⇒ COH = ax [pic 18]

x

           logo     senθ= [pic 19]a 

 

[pic 20] 

 

Usando a relação de Pitágoras no triângulo retângulo, obtemos a última informação que:

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