Teoria Malthusiana

UNIVERSIDADE ANHEMBI MORUMBI

ANA PAULA LANCINI SALLES – RA: 20365354

DIRCEU SOARES JUNIOR – RA: 20374356

CRESCIMENTO POPULACIONAL – MODELO DE MALTHUS E VERHULST

São Paulo

2014

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ANA PAULA LANCINI SALLES – RA: 20365354

DIRCEU SOARES JUNIOR – RA: 20374356

CRESCIMENTO POPULACIONAL – MODELO DE MALTHUS E VERHULST

 

Trabalho apresentado como exigência parcial para a disciplina de Equações Diferenciais, do curso de Engenharia de Produção da Universidade Anhembi Morumbi, sob a orientação do Prof. Dr. Marcos Roberto Bonfadini.

São Paulo

2014

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SUMÁRIO

INTRODUÇÃO        4

CAPÍTULO 1 – O MODELO MALTHUSIANO _        5

CAPÍTULO 2 – O MODELO DE VERHULST        6

CAPÍTULO 3 – DIFERENCIAÇÕES ENTRE OS MODELOS _        7

CAPÍTULO 4 – APLICAÇÃO NO MODELO DE MALTHUS _        9

CAPÍTULO 5 – APLICAÇÃO NO MODELO DE VERHULST _        10

CONCLUSÃO        12

REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS        13

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INTRODUÇÃO

O modelo de variação de uma população com o tempo, através do modelo de Malthus introduz uma análise de conceitos de estabilidade e instabilidade. Através de motivar e exemplificar os conceitos, e não serem representativos do caso real, onde os fenômenos biológicos e sociológicos, que reagem o crescimento de uma população são numerosos e complexos. Existente numa variedade de modelos nas equações diferenciais, cada um visando uma influência de alguns fenômenos na evolução populacional. Os modelos sendo obtidos fornecendo a taxa de crescimento da população caracterizando-se em uma população p(t), em um instante t, e dado por definição por p(t) / p(t). Através da modelagem matemática e dinâmica de determinada população permite fazer interferências e planejamento de ações.

Onde o argumento principal vem de limitações de um ambiente, do crescimento populacional podendo conter limitações por diversos fatores. Quando a população está distante de seu limite de crescimento condiz crescer em forma exponencial em aproximação de seu limite com variações populacionais. Por ser um modelo equivocado em alguns conceitos, este modelo possui alto relevância devido a sua contribuição para a evolução de outros modelos principalmente aplicados em recursos computacionais, que em vista serviu como base para a evolução.

CAPÍTULO 1 – O MODELO MALTHUSIANO

O modelo em que supõe que a taxa de crescimento é igual a constante λ. Onde temos uma seguinte equação que rege o crescimento da população:

ṗ = λp

Modelo que descreve a população de micro-organismos que se reproduzem através de mitose atreves das ciências biológicas, com aplicação em intervalos que delimitam o tempo, pois a solução ṗ = λp, p (t) = p (t0) * eλ*(t-t0), apresenta um crescimento exponencial se λ > 0, será impossível de ser mantido para sempre. A aplicação do modelo malthusiano as populações humanas, gerou uma acirrada controvérsia onde Malthus afirmava que a população mundial crescia em razão geométrica, enquanto os meios de sobrevivência cresciam em apenas em razão aritmética, consequentemente a população tenderia a ser controlada por fome, miséria, vícios, etc.

Considerando um valor de P, através de uma determinada população dada através de um problema inicial:

→ dP/dt = kP (t)

                                      dP/dt =

                                                        → P(0) = C

Onde β é a taxa de crescimento intrínseca da população, ocorrendo uma solução analítica desta equação gerando: P (t) = C * ekt, através do crescimento exponencial.

CAPÍTULO 2 – O MODELO DE VERHULST

O modelo de Verhulst se consiste a partir da equação ṗ = λp de Malthus, pois seu valor vem a ser diferente a taxa de natalidade λn e a taxa de mortalidade λm : λ = λn – λm. Criticada no modelo de Malthus onde a hipótese de λ ser constante; essa hipótese não parece ser razoável pois não leva em conta o crescimento da população acionando mecanismos de controle da taxa de crescimento. Verhulst consiste em supor que a taxa de crescimento decresce linearmente com a população: λ = a – bp, a e b constantes positivas. Sendo que não e um modelo ideal por não levar em conta a produção de novos membros dentro da sociedade contribuindo para um aumento. Observando que o modelo de Verhulst se traduz numa equação separável.

ṗ= ( a – bp)p

As funções constantes p(t) = 0 e p(t) = a/b ≡ P∞ são soluções de ṗ= (a – bp)p, através de uma decomposição: 1/p(a – bp) = (1/ap) + (b/a(a – bp) para escrever a equação ṗ= ( a – bp)p na forma ṗ/ap + bp/a(a-bp) = 1.

Mostrando que a população deverá crescer até um limite máximo sustentável devido as inibições naturais de seu próprio crescimento devendo-se estabilizar dando-se por: dP/dt = r (1- P/K) P, no qual K e um nível alto de saturação populacional, r é a taxa de crescimento mostrando soluções de equilíbrio em P=0 e P=K.