Trabalho de Cálculo Numérico

[pic 1]                                                                                            [pic 2]

TRABALHO DE CÁLCULO NUMÉRICO

Paravras-Chave: Método, Questão

Resumo: O objetivo desse artigo é responder as questões propostas pelo professor Gustavo Bono de Cálculo numérico da UFPE Faculdade situada em Caruaru, para isso será necessário empregar alguns métodos matemáticos, tais como método de Heun, método de Euler, Método de Range-Kutta, método do ponto médio e Derivação numérica, a explicação de cada método será dada a partir das resoluções dos problemas, para tal será necessário a  utilização de um software denominado matlab que é um sistema interativo cujo elemento básico de informação é uma matriz que não requer dimensionamento. Esse sistema permite a resolução de muitos problemas numéricos em apenas uma fração de tempo que se gastaria para escrever um programa semelhante em linguagem Fortran, Basic ou C.

Keyword: Method, question

Abstract: The Aim of this article is to answer the questions proposed by professor Gustavo Bono of numerical calculus at UFPE Faculdade located in Caruaru, for that it will be necessary to employ some mathematical methods, such as Heun method, Euler method, method of Range-Kutta, midpoint method and numerical derivation,the explanation of each method will be given from the problem resolutions, for that it will be necessary to use a software called matlab which is an interactive system whose basic information element is a matrix that does not require dimensioning. This system allows the resolution of many numerical problems in just a fraction of the time it would take to write a similar program in Fortran, Basic or C.

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• Primeira Questão

Para essa questão será necessário utilizar de derivação numérica para encontrar o valor aproximado usando a seguinte base de dados

[pic 3]

Da primeira, segunda e terceira derivada no ponto com a melhor aproximação possível.[pic 4]

Usando a diferença regressiva para calcular o valor da primeira derivada cuja a fórmula é dada por:

[pic 5]

No ponto  com [pic 6][pic 7]

[pic 8]

Substituindo os valores de [pic 9]

[pic 10]

Logo,

[pic 11]

Utilizando agora a diferença regressiva para a segunda derivada:

[pic 12]

Mais um vez no ponto  com [pic 13][pic 14]

Substituindo os valores

[pic 15]

Substituindo os valores de [pic 16]

[pic 17]

Portanto, [pic 18]

Por último para a terceira derivada mais uma vez usando a diferença regressiva, no qual a formula é:

[pic 19]

Substituindo os valores

[pic 20]

Logo,

[pic 21]

Portanto, o valor da terceira derivada no ponto  é:[pic 22]

[pic 23]

• Segunda Questão

Para essa questão será necessário utilizar os método de Euler, Heun e Ponto médio para calcular o valor aproximado da seguinte Equação diferencial:

[pic 24]

de  até  com  com uma aproximação de  [pic 25][pic 26][pic 27][pic 28]

Utilizando o método de Euler que. Neste método a inclinação no início do intervalo é tomada como uma aproximação da inclinação média em todo o intervalo, ou seja, a primeira derivada fornece uma estimativa direta da inclinação em :[pic 29]

[pic 30]

Em que  é uma equação diferencial calculada em xi e yi. Essa estimativa pode ser substituída em:[pic 31]

[pic 32]

Portanto, para o método de Euler o resultado é:

Para o método de Heun Esse método, desenvolvido por Karl Heun, é baseado no método de Euler. Heun percebeu que se fizesse o cálculo de duas inclinações ao invés de uma, então a média entre essas duas inclinações seria uma estimativa mais precisa com vistas a obter a próxima estimativa do valor de y.

No método de Euler, a inclinação no início de um intervalo,

[pic 33]

é usada para extrapolar linearmente para :[pic 34]

[pic 35]

No método de Euler padrão Parava-se nesse ponto. No entanto, no método de HEUN, o  calculado não é a resposta final, mas uma previsão intermediária. Essa equação é chamada de equação preditora. Ela fornece uma estimativa de  que permite o cálculo de uma estimativa da inclinação na extremidade final do intervalo:[pic 36][pic 37]

[pic 38]

Calculando a inclinação média,

[pic 39]

Essa inclinação média é, então, usada para extrapolar linearmente de  para  usando o método de Euler[pic 40][pic 41]

[pic 42]

Que é conhecida por método de Heun.

Logo, para esse método e utilizando 6 iterações do resultado é:

[pic 43]

Por ultimo o método do ponto médio outra modificação simples no método de Euler consiste em prever um valor de y no ponto médio do intervalo, o método denomina-se método do ponto médio (ou polígono melhorado ou de Euler modificado).

Em que,

[pic 44]

[pic 45]

E, portanto, o método do ponto médio é dado por:

[pic 46]

E o resultado é:

[pic 47]

Resolvendo agora analiticamente:

[pic 48]

Integrando a constante que multiplica o y

[pic 49]

Logo,

[pic 50]

Integrado por partes

[pic 51]

E, Portanto

[pic 52]

Considerando a constante C como zero , então:

[pic 53]

E o gráfico é:

[pic 54]

• Terceira Questão

Utilizando a mesma função da questão anterior com [pic 55]

Pelo Método de Euler o resultado é:

[pic 56]

Para Heun com 6 iterações o resultado é:

[pic 57]

Por último o resultado para o ponto médio é:

[pic 58]

Fazendo agora , tem-se:[pic 59]

Método de Euler: