Trabalho de Introdução ao Cálculo

Uma bola é atirada de uma torre a 5m de distância do solo a uma velocidade de 100m/s. A altura “h” do objeto em relação ao solo, em metros, “t” segundos após o lançamento é          h(t) = 5 + 100t -5t².

Analisando o contexto acima nota-se o uso de uma função quadrática, pela presença da expressão: h(t) = 5 + 100t -5t², onde a = -5, b = 100 e c = 5. Tal expressão é utilizada para analisar a relação entre a altura do lançamento em decorrer do tempo, ou seja, a altura alcançada pela bola no decorrer do tempo em sua trajetória.

Fazendo o estudo da função podemos determinar o ponto onde a altura máxima foi alcançada e o tempo onde isso ocorre, pois para cada ponto no eixo de altura existe um equivalente no eixo do tempo. Com isso podemos determinar a altura máxima e o tempo levado para alcançar tal altura pelo vértice da função que é o ponto de mínimo ou de máximo da função, sendo no caso admitido um ponto de máximo. Para calcular a altura máxima temos Yv = -∆/4a, representando o valor no eixo “Y” do vértice, que representa os valores de altura. E para o eixo “X”, o de tempo, temos um ponto equivalente chamado de “Xv” (X do vértice), onde podemos calcular por Xv = -b/2a. Usando as fórmulas citadas para acharmos os pontos dos vértices temos:

Xv = -100/2.(-5) = 10s  e  Yv = -10100/4.(-5) = 505m             

Aí estão as coordenadas de localização do vértice no gráfico: V = (10, 505). Logo temos uma altura máxima de 505 metros alcançados em 10 segundos. Mas que gráfico é esse? Sabe-se que toda função do segundo grau gera um gráfico em forma de parábola identificando a relação entre seus dois eixos (“X” e “Y”).

Sendo “X” o eixo do tempo e “Y” o eixo da altura. Para construir o gráfico temos que obter algumas informações sobre a função, sendo elas: O valos de “c” pois esse coeficiente determina onde a parábola irá cortar o eixo “Y”; Temos que encontrar o vértice, pois é ele que determina o valor de máximo ou de mínimo de acordo “a” (Quando negativo parábola com abertura para baixo, quando positivo parábola com abertura para cima, admitindo-se respectativamente valores de máximo e de mínimo); Também temos que encontrar as raízes da função, pois ela indicará onde a parábola tocará o eixo “X”, se ∆ = 0 a função possuirá apenas uma raíz, se ∆>0 a função terá duas raízes reais e se ∆<0 a função não possuirá raíz real. Levando em consideração as informações acima construiremos o gráfico. Achando o valor de “c”, que pela função temos c = 5. Marcamos o valor de “c” no eixo das coordenadas.

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Depois de marcar onde a parábola cortará o eixo “y” calculamos o valor das raízes.

∆ = 100² -4.(-5).5 = 10100

                                                x = -100 + 100,5/-10 = -0,05[pic 2][pic 3][pic 1]

         

                                                                              x = -100 - 100,5/-10 = 20,05

Logo o valor onde a parábola tocará o eixo das abcissas são: (-0,05) e (20,05), onde o (-0,05) não se encaixa por ser um tempo negativo. O valor (20,05) corresponde ao ponto onde a bola alcançará o chão, pois para esse valo de “x” o eixo “y” é zero. Então temos:

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