Trabalho de Numérica

1. Paulo Domingos Kwango

Temas a abordar

1. Método dos mínimos quadrados

1. Derivação Numerica

1. Aproximação da derivada por diferenças finitas
2. Diferenças finitas via série de Taylor
3. Erros de arredondamento

1. Integração Numerica
2. Bibliografia

1. Método dos mínimos quadrados

Sistemas lineares aparecem como modelos matemáticos de vários fenômenos e em várias situações. Acontece que alguns sistemas simplesmente não possuem soluções e ficamos sem saber como proceder. O método dos mínimos quadrados é uma técnica que nos permite, de forma aproximada, retirar alguma informação desses sistemas impossíveis. A terminologia se deve ao fato de que, como veremos, este método minimiza a soma dos quadrados dos erros obtidos na aproximação.

Como sabemos, resolver o sistema linear  :

 Ax→ = b→

consiste em encontrar um vetor x→ que satisfaça a esta equação. Na terminologia que construimos ao longo do curso, é equivalente dizer que b→ pertence ao espaço coluna da matriz A, isto é, b→ ∈ ColA. Desta forma, não é possível resolver o sistema quando b→∉ColA. Representamos esta situação na figura abaixo.

[pic 1]

O método dos mínimos quadrados consiste em olhar para o vetor p→ = projCol Ab→ e resolver o sistema linear associado

Ax→ = p→.

Esta solução de Ax→ = p→ é chamada de solução de mínimos quadrados. A ideia é (ver figura) considerar o vetor pertencente a ColA que é o “mais próximo” possível de b→ e cujo sistema linear associado possua solução. Neste contexto, estamos pensando em mais próximo no sentido

∥b→ − projCol Ab→∥≤∥b→ −c→∥, para qualquer c→ ∈ ColA,

isto é, no sentido de ser a projeção a melhor aproximação de b→ no espaço coluna de A. Escrevendo os vetores em coordenadas:

b→ = b1 b2 ⋮ b n e projCol Ab→ = p1 p2 ⋮ p n ,

podemos definir o valor

∥b→ − projCol Ab→∥ = ∑ i=1n(bi − pi)2

como o erro da aproximação ou erro quadrático. Logo, como anunciado, a soma dos quadrados dos erros obtidos cada componente é o mínimo possível.

[pic 2]

[pic 3]

[pic 4]

[pic 5]

[pic 6]

2. Derivação Numérica

 Dado um conjunto de pontos (xi , yi) n i=1, a derivada ( dy dx ) i pode ser calculada de várias formas.

2.1 Aproximação da derivada por diferenças finitas

Uma diferença finita é uma expressão da forma f(x+b)-f(x+a), que ao ser dividida por (b-a) chama-se um quociente de diferenças. A técnica de diferenças finitas consiste em aproximar a derivada de uma função via fórmulas discretas que requerem apenas um conjunto finito de pares ordenados {(xi,yi)}ni=1, onde geralmente denotamos yi=f(xi)

Essas fórmulas podem ser obtidas de várias maneiras. Começamos com a fórmula mais simples que pode ser obtida do cálculo diferencial. Seja f uma função diferenciável , a derivada de f no ponto x0 é, por definição,

	[pic 7] Deste limite, tomando h≠0 pequeno (não muito pequeno para evitar o cancelamento catastrófico), é esperado que possamos obter uma aproximação razoável para f′(x0). Assim, a diferença finita progressiva de ordem 1 [pic 8] é uma aproximação para f′(Xo). Exemplo :. Usando a diferença finita progressiva de ordem 1, calcule aproximações da derivada de f(x)=cos(x) no ponto x=1 usando h=10-1, 10-2, 10-3, 10-4, 10-12 e 10-14. Calcule o erro |D+,hf(1)-f′(1)| obtido para cada valor de h. Solução. Usando a diferença progressiva em  (8.2), devemos calcular [pic 9]

No GNU Octave, podemos calcular a aproximação da derivada f′(1) com h=0,1 usando as seguintes linhas de código:

f = @(x) cos(x);  
x0 = 1;  
h = 0.1;  
df = (f(x0+h) - f(x0))/h

E, similarmente, para outros valores de x0 e h

[pic 10]

Figura 2: Erro absoluto das derivadas numéricas no Exemplo 8.1.1.

Exploremos o Exemplo 8.1.1 um pouco mais. Observamos que, para valores moderados de h, o erro |f′(1)-D+,hf(1)| diminui linearmente com h (veja Figura 8.1). Isto é consequência da ordem de truncamento da fórmula de diferenças finitas aplicada (que é de ordem 1). Porém, para valores muito pequenos de h<10-8, o erro passa a aumentar quando diminuímos h. Isto é devido ao efeito de cancelamento catastrófico.