Trabalho de cálculo

[pic 1]

ENGENHARIA DE CONTROLE E AUTOMAÇÃO

                                     

                                     WINSTON ALCÂNTARA OLIVEIRA

                       

           

                           APLICAÇÃO DE INTEGRAL NA ENGENHARIA

                                   

 

                                   

                                                 

                                               

                                                         SERRA

                                                            2015

                               ÍNDICE

INTEGRAL.............................................................................................................2

DEFINIÇÃO FORMAL E NOTAÇÃO........................................................................2

INTEGRAL DEFINIDA...........................................................................................2

INTEGRAL INDEFINIDA.......................................................................................5

TEOREMA FUNDAMENTAL DO CÁLCULO............................................................5

PASSO-A-PASSO....................................................................................................6

EXEMPLOS DE INTEGRAÇÃO...............................................................................7

REFERÊNCIA........................................................................................................8

Integral

No cálculo, a integral de uma função foi criada originalmente para determinar a área sob uma curva no plano cartesiano e também surge naturalmente em dezenas de problemas de Física, como por exemplo na determinação da posição em todos os instantes de um objeto, se for conhecida a sua velocidade instantânea em todos os instantes. 

O processo de se calcular a integral de uma função é chamado de integração.

Diferentemente da noção associada de derivação, existem várias definições para a integração, todas elas visando a resolver alguns problemas conceituais relacionados a limites, continuidade e existência de certos processos utilizados na definição.

Estas definições diferem porque existem funções que podem ser integradas segundo alguma definição, mas não podem segundo outra.

A integral indefinida também é conhecida como antiderivada.

Definição formal e notação

Integral definida

Seja uma função contínua definida no intervalo [pic 2]. A integral definida desta função é denotada como

Em linguagem matemática	Em português
[pic 3]	[pic 4] é a integral da função [pic 5], no intervalo entre [pic 6] e [pic 7]. [pic 8] é o sinal da integral, [pic 9] é o integrando e os pontos [pic 10] e [pic 11] são os limites (inferior e superior, respectivamente) de integração.
Onde [pic 12]	[pic 13] é uma função com domínio no espaço fechado [a,b] (com [pic 14]) e com imagem no conjunto dos números reais

A ideia desta notação utilizando um S comprido é generalizar a noção de somatório. Isto porque, intuitivamente, a integral de [pic 15] sobre o intervalo [pic 16] pode ser entendida como a soma de pequenos retângulos de base [pic 17] tendendo a zero e altura [pic 18], onde o produto [pic 19] é a área deste retângulo. A soma de todas estas pequenas áreas (áreas infinitesimais), fornece a área entre a curva [pic 20] e o eixo das abscissas. Mais precisamente, pode-se dizer que a integral acima é o valor limite da soma:

Em linguagem matemática	Em Português
[pic 21]	A integral de [pic 22] no intervalo [a,b] é igual ao limite do somatório de cada um dos valores que a função f(x) assume, de 0 a n, multiplicados por [pic 23]. O que se espera é que quando n for muito grande o valor da soma acima se aproxime do valor da área abaixo da curva e, portanto, da integral de [pic 24] no intervalo. Ou seja, que o limite esteja definido. A definição de integral aqui apresentada é chamada de soma de Riemann, mas há outras formas (equivalentes).
onde [pic 25]	Comprimento dos pequenos subintervalos nos quais se divide o intervalo [a,b]. Os extremos destes intervalos são os números [pic 26].
onde [pic 27]	Equivale a um ponto num intervalo de [pic 28] até [pic 29] da função quando o valor do número de termos [pic 30] tende a infinito ou equivalentemente quando o valor de [pic 31] tende a 0,nesse caso a letra [pic 32] define o enésimo termo de uma sequência infinita ligada aos valores que cada [pic 33] assumirá.
onde [pic 34]	Valor ("altura") da função [pic 35] quando x é igual ao ponto amostral [pic 36], definido como um ponto que está no subintervalo [pic 37] (podendo até mesmo ser um destes pontos extremos do subintervalo).

Uma integral definida pode ser própria ou imprópria, convergente ou divergente. Neste último caso, ela representa uma área infinita.