Trabalho de cálculo 2

Cálculo II

Segunda Prova – Resolução

QUESTÃO 01 – 8 pontos

O gráfico da função [pic 1] passa pelo ponto (1, 6) e a inclinação de sua reta tangente no ponto (x, y) é [pic 2]. Com base nessas informações: (a) determine a função [pic 3]; (b) calcule o valor de y quando [pic 4]; (c) escreva a equação da reta tangente à curva [pic 5] no ponto [pic 6]; (d) esboce o gráfico da função [pic 7] e o da reta tangente obtida no item (c).

Solução – 2 pontos cada item

1. A inclinação da reta tangente ao gráfico de uma função [pic 8]no ponto (x, y) é o valor de sua derivada nesse mesmo ponto. Portanto, podemos escrever: [pic 9]. Integrando, obtemos:

      [pic 10]. Como o ponto (1, 6) pertence ao gráfico de [pic 11], temos: [pic 12].

     Portanto, a função procurada é [pic 13].

1. O valor de y quando [pic 14] é [pic 15].

1. A equação da tangente ao gráfico de [pic 16]no ponto [pic 17] tem inclinação [pic 18]. Portanto, sua equação é: [pic 19].

1. Um esboço dos gráficos da função [pic 20] e da tangente [pic 21]está a seguir.

[pic 22]

QUESTÃO 02 – 9 pontos

Considere a integral [pic 23] e o gráfico da função  [pic 24], que está abaixo.

[pic 25]

A partir dessas informações: (a) escreva por que essa integral é imprópria; (b) decida se essa integral diverge ou converge; (c) caso essa integral convirja, escreva seu valor e atribua um significado a esse valor.

Solução – 3 pontos cada item

1. A integral [pic 26]é imprópria porque a função integranda [pic 27]não existe em [pic 28], um dos extremos do intervalo de integração.
2. Para verificar se a integral converge, fazemos:

[pic 29]

O resultado encontrado indica que a integral é convergente.

1. O valor dessa integral, [pic 30], é a medida da área da região do plano sombreada na figura: ela está à direita da reta [pic 31], acima do eixo x, à esquerda da reta [pic 32] e abaixo do gráfico de [pic 33].

QUESTÃO 03 – 9 pontos

A figura abaixo apresenta a região limitada pelo gráfico da função [pic 34] e pelo gráfico da reta r, que é tangente à curva  [pic 35] no ponto [pic 36].

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