Variaveis

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Na região. No cálculo, a derivada em um ponto de uma função representa a taxa de variação instantânea de em relação a neste ponto. Um exemplo típico é a função velocidade que representa a taxa de variação (derivada) da função espaço. Do mesmo modo a função aceleração é a derivada da função velocidade. Geometricamente, a derivada no ponto de representa a inclinação da reta tangente ao gráfico desta função no ponto .[1] [2] A função que a cada ponto associa a derivada neste ponto de é chamada de função derivada de f(x).

Definição e notação[editar | editar código-fonte]Seja um intervalo aberto não-vazio e seja , , uma função de em . Diz-se que função é derivável no ponto se existir o seguinte limite:[3]

.

Se for esse o caso, o número real é chamado de derivada da função no ponto . Notações equivalentes são:

.

Equivalentemente, escrevemos:

o que é obtido fazendo no limite acima. Desta forma, define-se a função derivada de por:

para todo para o qual este limite existe.

Uma função é dita derivável (ou diferenciável) quando sua derivada existe em cada ponto do seu domínio.

Segundo esta definição, a derivada de uma função de uma variável é definida como um processo de limite. Considera-se a inclinação da secante, quando os dois pontos de intersecção com o gráfico de f convergem para um mesmo ponto. No limite, a inclinação da secante é igual à da tangente.

Inclinação da secante ao gráfico de f

Inclinação da tangente à curva como a derivada de f(x)

O declive da secante ao gráfico de f que passa pelos pontos (x,f(x)) e (x + h,f(x + h)) é dado pelo quociente de Newton:

.

Uma definição alternativa é: a função f é derivável em a se existir uma função φa de I em R contínua em a tal que

.

Então define-se a derivada de f em a como sendo φa(a).

Funções com valores em R[editar | editar código-fonte]Se for um intervalo de R com mais do que um ponto e se for uma função de em , para algum número natural , as definições anteriores continuam a fazer sentido. Assim, por exemplo a função

(ou seja: uma função que a cada x do domínio em responde com uma coordenada no contradomínio em . Esta coordenada é (cosx,senx)).

é derivável e

De facto, as propriedades acima descritas para o caso real continuam válidas, excepto, naturalmente, as que dizem respeito à monotonia de funções.

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