A Introdução a Análise

03) Um número natural p chama-se primo quando  e não se pode escrever  como  e . Prove que o conjunto dos números primos é infinito.[pic 1][pic 2][pic 3][pic 4]

Supondo que a sequência dos primos seja finita. Seja  a lista de todos os primos. Consideramos o número . Sendo que P não é divisível por nenhum dos p da lista e que P é maior do que qualquer p. Mas sabemos que todo inteiro maior do que 1 pode ser representado de maneira (a menos de uma ordem) como um produto de fatores primos (*). Dessa maneira, P é primo ou possui algum fator primo e isto implica na existência de um primo que não pertence a lista. Portanto a sequência dos números primos não pode ser finita. Dessa maneira, P é infinita. [pic 5][pic 6]

06) Dada  prove:[pic 7]

a) Se X é infinito f é injetiva então Y é infinito.

Como f é injetiva, então  é bijeção e  é infinito, logo B é infinito, B não pode ser finito, pois todo subconjunto de um conjunto  finito é finito, f (A) não pode ser finito, pois se fosse A estaria em bijeção coom o conjunto finito logo seria finito.[pic 8][pic 9]

b) Se Y é infinito e f é sobrejetiva, então X é infinito.

Dado  escolhemos  tal que  e com isso definimos a função  tal que , g é injetiva então pelo resultado do item anterior concluímos que A é infinito. [pic 10][pic 11][pic 12][pic 13][pic 14]

07) Sejam X um conjunto finito e Y um conjunto infinito. Prove que existem uma função injetiva  e uma sobrejetiva [pic 15][pic 16]

Seja , escolhendo m elementos distintos de y, temos . Dessa maneira, definimos  por , assim temos que f é injetiva. Agora, denote   e considere  definida por  se e  se  Dessa forma, concluímos que g é sobrejetiva. [pic 17][pic 18][pic 19][pic 20][pic 21][pic 22][pic 23][pic 24][pic 25][pic 26]

10) Seja Y enumerável e  tal que, para cada , é enumerável. Prove que X é enumerável.[pic 27][pic 28]

Seja B enumerável e  tal que  é enumerável, então A é enumerável.[pic 29][pic 30]

Demostração: , f-1(y) então A é união enumerável de conjuntos enumeráveis, logo A é enumerável.[pic 31]

11) Seja S o conjunto de todas as funções . Dada uma função  indique com  o valor de  no ponto  Assim  é uma função de N em {0,1}. Defina  pondo  Mostre que  e conclua que [pic 41] não é enumerável.[pic 32][pic 33][pic 34][pic 35][pic 36][pic 37][pic 38][pic 39][pic 40]

Considerando o subconjunto enumerável Assim, fica evidente que , basta observar que a aplicação  dada por . Definindo uma nova sequência  e tomando o n-ésimo termo de  se  ou  Logo,  pois seu n-ésimo termo é diferente do o n-ésimo termo de . Portanto, o conjunto , ou seja, nenhum conjunto enumerável  é igual a S. Dessa maneira, conclui-se que S não é enumerável.[pic 42][pic 43][pic 44][pic 45][pic 46][pic 47][pic 48][pic 49][pic 50][pic 51][pic 52][pic 53]

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