Análise Combinatória

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Universidade Federal de Campina Grande

PET Conexões de Saberes

Curso de Consolidação

     

Analise Combinatória

Junho

de 2013

Sumário

1. Introdução

1.  O que é Analise Combinatória?
2.   E do que precisamos saber?

1. Princípio Fundamental da Contagem

1. Princípio Aditivo
2. Principio Multiplicativo
3. Exercícios

1. Arranjo

3.1.   Exercícios

1. Permutação

4.1. Exercícios

1. Permutação com repetição

5.1. Exercícios

1. Permutação Circular
2. Combinação
3. Combinação com repetição

1.  Introdução

As primeiras atividades matemáticas da humanidade estavam ligadas à contagem de objetos de um conjunto, enumerando seus elementos, sendo chamada posteriormente de Analise combinatória.

1. O que é Analise Combinatória?

Análise combinatória é um estudo realizado na matemática e na lógica, responsável pela análise das possibilidades e das combinações.

1.  E do que precisamos saber?

Para que nosso estudo sobre Analise Combinatória se torne mais fácil e necessário que algumas definições sejam apresentadas, como a seguir.

• Números naturais

Pertencem ao conjunto dos naturais os números inteiros positivos, incluindo o zero. Esse conjunto é representado pela letra N maiúscula. Os elementos dos conjuntos devem estar sempre entre chaves.

N = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 12, 13, 14, 15, 16, 17,...}.

• Conjuntos

Conjunto é uma lista, coleção, ou classe de objetos, pessoas, números, etc. Os  conjuntos são representados pelas letras maiúsculas do alfabeto.

 O conjunto universo e o conjunto vazio são tipos especiais de conjuntos. 

Vazio: não possui elementos e pode ser representado por { } ou Ø. 

Universo: possui todos os elementos de acordo com o que estamos trabalhando, pode ser representado pela letra maiúscula U. 

• Sequencia

Todo conjunto de elementos, numéricos ou não, colocados numa determinada ordem é chamado de sequencia.

Exemplo de Introdução:

Nestes exemplos teremos uma pequena ideia de como funcionam os métodos de contagem.

1. De quantas formas podemos enfileirar as formas Geométricas apresentadas?

1. Temos dois dados, se lançarmos os dois ao mesmo tempo quais serão os resultados possíveis?

1. Princípio Fundamental da Contagem

Vamos aprender agora a determinar o número de possibilidades de ocorrência de um evento, sem a necessidade de descrever todas as possibilidades. Para isso utilizarem inicialmente os o Princípio Aditivo (P.A) e o Princípio Multiplicativo (P.M).

        2.1.   Princípio Aditivo

Vamos introduzir Princípio Aditivo por meio de alguns exemplos para que fique claro como esse princípio funciona e logo após o definiremos da maneira formal.

Exemplo inicial:

Suponha que tenham entrado em cartaz 3 filmes e  2 peças de teatro e que Carlos tenha dinheiro assistir a apenas 1 evento. Quantos são os programas que Carlos pode fazer no sábado?

Definição: Se A e B são dois conjuntos com respectivamente, p e q elementos, onde nem um elemento de A está em B e nem um elemento de B está em A, então a união de A e B possui p + q elementos.

 

        2.2.   Princípio Multiplicativo

Se uma decisão D1pode ser tomada de p modos e, qualquer que seja essa escolha, a decisão D2 pode ser tomada de q modos, então o número de maneiras de se tomarem consecutivamente as decisões D1 e D2 é igual a pq.

1. Exercícios

1. Suponha que tenha entrado em cartaz 3 filmes e 2 peças de teatro e Carlos tem dinheiro para assistir a um filme ou uma peça de teatro, quantos são os programas que ele pode fazer no sábado?

2. Há 3 linhas de ônibus entre as cidades A e B e 2 linhas de ônibus entre B e C. De quantas maneiras uma pessoa pode viajar:

a) Indo de A até C, passando por B?

b) Indo e voltando entre A e C sempre passando por B?

1. Quantos números de 3 algarismos distintos podemos formar com os dígitos 5, 6 e 7?

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1. Uma bandeira é formada por quatro listras, que devem ser coloridas usando-se apenas as cores amarelo, azul e vermelho, não devendo listras adjacentes ter a mesma cor. De quantos modos pode ser colorida a bandeira?

                

1. Quantos números naturais de 4 dígitos, que seja menores que 5000 e divisíveis por 5, podem ser formados usando-se apenas os algarismos 2, 3, 4 e 5?
2. De quantas maneiras podemos dar 2 prêmios a uma classe com 1 rapazes, de modo que os prêmios não sejam dados a um mesmo rapaz?
3. Quantos são os anagramas de 2 letras diferentes que podemos formar com um alfabeto de 23 letras?
4. De quantas maneiras 2 pessoas podem estacionar seus carros numa garagem com 6 vagas?
5. Quantos são os números naturais pares que se escrevem com três dígitos distintos?
6. De quantos modos 5 homens e 5 mulheres podem se sentar em 5 bancos de 2 lugares, se cada banco deve haver um homem e uma mulher?
7. Há 12 moças e 10 rapazes, onde 5 deles (3 moças e 2 rapazes ) são filhos da mesma mãe e os restantes não possuem parentesco. Quantos são os casamentos possíveis?

1. Fatorial

        É comum, nos problemas de contagem, calcularmos o produto de uma multiplicação cujos fatores são números naturais consecutivos. Para facilitar esse trabalhar, vamos adotar um símbolo chamado fatorial.

        Sendo n um número inteiro maior que 1, define-se fatorial de n como o produto dos n números naturais consecutivos de n a 1. Indica-se n!(Lê-se: n fatorial ou fatorial de n)

n! = n∙ (n – 1) ∙ (n - 2) ∙ ... ∙ 3 ∙ 2 ∙1