Trabalho Matemática

EXERCITANDO (Aula 1)

        Nos exercícios  1  a  6, usando integral dupla calcule a área da região limitada pelas curvas dadas:

Ou seja, usaremos  sendo dA = dxdy ou dydx conforme escolher a integral “de entro” e a “de fora”.[pic 1]

2. [pic 2]        

No wolf... fazer a igualdade.

Lembrando: Para digitar x² use x^2 ou x2

[pic 3]

Note que as interseções são -1 e 1.

Vou demonstrar o caso de x <= 0.

Logo: |x| = -x

Assim, -x = 2 - x² 🡪 x² - x – 2 = 0.

Por... b² - 4ac = (-1)² - 4(1)(-2) = 1 + 8 = 9

X1 = (1 – 3)/2 = -2/2 = -1

X2 = (1 + 3)/2 = 4/2 = 2 – EXCLUÍMOS ESTA RAIZ POR QUAL MOTIVO?

Agora faça para x > 0...

A integral será:

[pic 4]

Região 1 é x entre -1 e 0.

Note que y está entre a reta -x e a parábola (usando retângulos verticias – E SE FOSSEM RETâNGULOS HORIZONTAIS?

Deste modo, a 1ª região fica:

[pic 5]

Concluir e debter no fórum dificuldades (se existirem) encontradas.

  5. [pic 6]

Fazer igualdade entre funções para obter a região de integração.

Raízes serão -2, 0 e 2.

Desta feita, duas regiões de integração: de onde até onde cada uma – no tocante à variação no eixo x? Qual função estará acima e qual função etará abaixo em cada intervalo? – Dica: en cada intervalo, pela continuidade das funções, atribua uma valor para x... quem for maior, ficará acima no referido intervalo.        

Gráfico de x³ - 3x

[pic 7]

Passando a reta y = x...

         Nos exercícios  7   a   16, para cada integral dada, mude a ordem de integração e escolha uma ordem para calcular o valor da integral:

10. [pic 8]  [pic 9]

De dentro para fora... exp(-x) <= y <= exp(x)

inverter... logo, pela definição de logarítmo, (na extremidade) exp(-x) = y 🡪 -x = lny 🡪 x = -lny = ln(1/y) – Por qual motivo?

Por analogia... y = exp(x) 🡪 x = lny.

Pelos dados da integral externa... 0 <= x <= 1.

Assim (por qual motivo?) y varia entre “0” e “e” – você concorda? 

Em relação à resolução da integral, considerando a ordem indicada no problema, seja z = x + y. Daí, dz/dy = 1 (por qual motivo derivamos em relação à variável y e não em relação à variável x?).

Em relação aos limites de integração... (explicar a integral abaixo)

[pic 10]

12. [pic 11]

Note que -x <= y <= pi equivale a uma região triangular. Onde está localizada tal região?

Como ficará a integral após mudança na ordem?