A ANÁLISE COMBINATÓRIA

ANÁLISE COMBINATÓRIA

Princípios de Contagem

A análise combinatória é a parte da Matemática que estuda e desenvolve métodos para a resolução de problemas que envolvem contagem. Para resolvermos estes problemas,

usamos dois princípios:

I.Princípio  da  Adição

   Se um evento pode ocorrer por m ou por n maneiras distintas e independentes, então

para a ocorrência desse evento existem:

m + n  possibilidades

 OBS: Utilizado apenas quando os elementos forem disjuntos, ou seja, quando não houver possibilidade em comum.

Exemplos:

1. Estamos em Palmas e desejamos viajar para Salvador. Existem três (3) empresas de ônibus e duas (2) companhias de avião que fazem este trajeto. Escolhendo um ônibus ou um avião, de quantas maneiras podemos realizar esta viagem ?

        [pic 1]

Nesse caso, as possibilidades foram somadas porque são independentes e alternativas, sendo possível a escolha das duas simultaneamente. Escolhe-se um dos ônibus, ou um dos aviões.

1. Um consumidor deseja comprar um veículo de uma concessionária. A concessionária

tem  23 automóveis e 14 caminhões em estoque. Quantas escolhas possíveis o consumidor tem ?

II.  Princípio da Multiplicação

Se  um  evento  pode  ser  dividido  em  duas  etapas,  em  que  para  realizar  a  1ª    etapa,existem m maneiras e, para realizar a 2ª etapa, existem n  maneiras, então para a ocorrência do evento, ou seja, uma das m maneiras e uma das n maneiras existem

m  x  n  possibilidades

Exemplo:

Estamos em Palmas e desejamos viajar para Salvador. Existem três (3) empresas de onibus  que fazem o trajeto até Brasília e duas (2) companhias de avião que fazem o trajeto de Brasília a Salvador. Escolhendo um (1) ônibus e um (1) avião, de quantas maneira podemos

realizar esta viagem?

[pic 2]

EXERCÍCIOS

1. Uma criança pode escolher uma entre duas balas, uma rosa e outra preta, e um entre três chicletes, um amarelo, outro verde e outro branco. Quantos conjuntos diferentes a criança pode ter ?
2. O sufixo do seu número de telefone contém quatro dígitos. Quantos desses números de quatro dígitos existem ?
3. Com relação ao exercício anterior, quantos números de quatro dígitos existem se um mesmo dígito não puder ser repetido ?
4. De quantas maneiras podemos escolher três representantes em um grupo de 25 pessoas ?
5. De quantas maneiras podemos escolher três representantes, para três comissões, em um grupo de 25 pessoas, se um representante pode participar de mais de uma comissão ?
6. Se um homem tem quatro ternos, oito camisas e cinco gravatas, de quantas maneiras diferentes ele pode se vestir ?

III. USANDO OS DOIS PRINCÍPIOS JUNTOS

No exercício 1 acima, suponha que queremos encontrar de quantas maneiras diferentes a criança pode escolher o doce, ao invés do  número de conjuntos de doces que ela pode ter. Então, escollher uma bala rosa e depois um chiclete amarelo não é a mesma coisa que escolher primeiro um chiclete amarelo e depois uma bala rosa. Podemos considerar dois casos disjuntos: a escolha de balas ou de chicletes primeiro. Cada um desses casos (pelo principio da multiplicação) tem seis possibilidades, de modo que (pelo princípio da adição) existem 6 + 6 = 12 maneiras diferentes de escolher os doces.

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