A APOSTILA FUNÇÃO AFIM

FUNÇÃO AFIM

Introdução

        José Roberto toma um táxi comum e cobra R$ 2,60 pela bandeirada e R$ 0,65 por quilômetro rodado. Ele quer ir à casa de um amigo que foca a 10 Km dali. Quanto José Roberto vai gastar de táxi?

Resolução: Ele terá de pagar os 10 X R$ 0,65 pela distância percorrida e mais R$ 2,60 pela bandeirada, ou seja, R$ 6,50 + R$ 2,60 = R$ 9,10.

Se a casa do seu amigo ficasse a 15 Km de distância, o preço da corrida (em reais) seria: 0,65 . 15 + 2,60 = 9,75 + 2,60 = 12,35.

        Enfim, para cada distância x percorrida pelo táxi há certo preço c(x) para a corrida. O valor c(x) é uma função de x.

        Podemos encontrar facilmente a lei que expressa c(x) em função de x:

                                               c(x) = 0,65 . x + 2,60

que é um caso particular de função afim.

Definição

        Chama-se função afim qualquer função de R em R dada por uma lei da forma f(x) = ax + b, onde a e b são números reais dados e a ≠ 0. O número a é chamado de coeficiente de x e o b de termo constante.

Exercícios

Dê os valores dos coeficientes de x e dos termos constantes nas seguintes funções:

1. f(x) = 5x + 7
2. f(x) = x/3 – 5
3. f(x) = 11x

Coeficientes da função afim[pic 1][pic 2][pic 3]

                                                               b

Dados os pontos A (x1,y1) e B (x2,y2), tempos que f(x1) = a x1 + b e f(x2) = a x2 + b, daí f(x2) - f(x1) = a(x2 - x1), portanto a = f(x2) - f(x1)/ x2 - x1

a  → Taxa de Variação

b → coeficiente linear

A lei da função f(x) = ax + b representa a equação de uma reta

Gráfico

Exemplo - Vamos construir o gráfico da função y = 3x -1:

Como o gráfico é uma reta, basta obter dois de seus pontos e ligá-los com o auxílio de uma régua.

1. para x = 0, temos y = 3 . 0 – 1 = -1; portanto um ponto é (0, -1)
2. para y = 0, temos 0 = 3x – 1; portanto, x = 1/3 e outro ponto é (1/3, 0)

Marcamos os pontos (0, -1) e (1/3, 0) no plano cartesiano e ligamos os dois com uma reta.      

[pic 4]D: R   Cd: R   Im:R

Para obtermos a equação da reta que passa pelos pontos A (-1,3) e B (1,1), temos que resolver o seguinte sistema:

3 = a(-1) + b                                       -a + b = 3

1 = a . 1 + b       ou seja,                     a + b = 1

Cuja solução é a = -1 e b = 2. Portanto, a equação procurada é y = -x + 2.

Exercícios

1. Construa o gráfico da função y = -2x + 3
2. Obtenha a equação da reta que passa pelos pontos (2,3) e (3,5)

Zero de uma função afim

Chama-se zero ou raiz de uma função afim f(x) = ax + b, a ≠ 0, o número real x tal que f(x) = 0.

                           f(x) = 0 → ax + b = 0 → x = -b/a (ponto em que a reta intersecta o eixo das abscissas).

Ex: f(x) = 3x + 6

f(x) = 0 → 3x + 6 = 0 → x = -2

Exercícios

Encontre o zero das seguintes funções afim

f(x) = 2x – 5                         f(x) = 4x + 8                            f(x) = 5x + 12

Crescimento e Decrescimento

        Considere a função afim y = 3x – 1. Vamos atribuir valores cada vez maiores a x e observar o que ocorre com y.

                                                          x aumenta          [pic 5]

x	-3	-2	-1	0	1	2	3
y	-10	-7	-4	-1	2	5	8

                                                        y aumenta [pic 6]

[pic 7]

Dizemos então que a função é crescente

Agora considere a função y = -2x + 3 e fazer o mesmo.

                                                                  x aumenta       [pic 8]

x	-3	-2	-1	0	1	2	3
y	9	7	5	3	1	-1	-3

                                                                 y diminui[pic 9]

[pic 10]

Regra geral:

• Função crescente: Para a > 0: se x1 < x2, então ax1 < ax2. Daí, ax1 + b < ax2 + b, de onde vem f(x1) < f(x2).
• Função decrescente: Para a <0: se x1 < x2, então ax1 > ax2. Daí, ax1 + b > ax2 + b, de onde vem f(x1) > f(x2).

Exercícios

Especifique quais funções são crescentes e quais são decrescentes

y = 3x +2                                 y = -2x + 5                                         y = -1/3x + 4/3

Função Identidade e Função Constante