Análise de correlação

Introdução

A análise de correlação é uma das técnicas mais populares da Estatística e a ideia de correlação uma das mais importantes. No caso da correlação simples, ou seja, a correlação entre duas variáveis, o que se busca é a verificação do grau de relacionamento linear entre essas variáveis aleatórias. Assim, a correlação é considerada como uma medida de associação, influência mútua ou conjunta entre duas variáveis.

A análise de correlação está estreitamente relacionada com a análise de regressão linear. A diferença básica entre essas técnicas é que na análise de correlação existe interesse somente na magnitude e no sentido do relacionamento entre duas variáveis. Não há interesse, por exemplo, na predição ou previsão de valores de uma variável dados valores da outra variável. Assim, não existe nesse contexto umavariável preditora nem uma variável resposta. No entanto, as técnicas de análise de regressão e análise de correlação são muito próximas em seus objetivos e os conceitos relativos a uma ou outra técnica frequentemente se entrelaçam.

De uma forma vaga e apenas descritiva, a ideia de correlação teve seu início com Francis Galton durante os anos 1880. O conceito evoluiu com Karl Pearson nos anos 1890 mas foi somente com R.A. Fisher, entre 1915 e 1925, que houve uma sistematização e construção de bases sólida para a análise de correlação. Após 1935, com H. Hotelling e outros, o conceito foi generalizado.

Existe muitos tipos de correlação: correlação simples, correlação múltipla, correlação parcial, correlação canônica, etc. O que será tratado a seguir é o tipo mais comum, denominada correlação simples, cuja medida é um coeficiente denominado coeficiente de correlação de Pearson ou ainda coeficiente do momento produto de Pearson.

O coeficiente de correlação (simples) é uma medida do grau de relacionamento linear entre duas variáveis aleatórias x e y definido como

ρxy=Cov(x,y)σxσy=σxyσxσy

sendo σxy a covariância entre x e y e σx e σy os desvios padrões de x e de y.

O conceito de correlação ou de covariância aparece naturalmente quando se considera populações estatísticas multivariadas. Nesse caso, considera-se as correlações ou covariâncias entre pares de variáveis.

Inferências sobre o coeficiente de correlação

Dada a amostra aleatória da população estatística bivariada de (x,y), correspondente a n unidades de observação, representada por (x1,y1),(x2,y2),...,(xu,yu),...,(xn,yn), ou (xu,yu), u∈1:n, o coeficiente de correlação ρxy é estimado por

rxy=1n-1 ∑u(xu-x¯)(yu-y¯)sx2sy2=sxysxsy=qxyqxqy

sendo qxy a soma de produtos de desvios de x e de y e qx e qy as somas de quadrados dos respectivos desvios. As quantidades

sx2=1n-1 ∑u(xu-x¯)2, sy2=1n-1 ∑u(yu-y¯)2 e sxy=1n-1 ∑u(xu-x¯)(yu-y¯)

são denominadas, respectivamente, variância amostral de x e de y e covariância amostral entre x e y, que, respectivamente, são estimadores de σx2, σy2 e σxy.

Se a amostra é aleatória, independentemente da distribuição de probabilidade de (x,y), o coeficiente rxy tem propriedades interessantes como estimador de ρxy:

1. E(rxy) é aproximadamente ρxy, sendo E o valor esperado.

2. -1≤rxy≤1.

3. rxy é um estimador consistente para ρxy.

O caso normal

Entretanto, se a distribuição conjunta de (x,y) é a distribuição normal bivariada então rxy é o estimador de