As probabilidades são exercícios

Probabilidades – Exercícios

Capítulo 1

1. Uma caixa contém 5 lâmpadas, das quais duas são defeituosas. As lâmpadas defeituosas estão numeradas de 1 a 2 e as não defeituosas estão numeradas de 3 a 5. Extraem-se 2 lâmpadas, ao acaso, uma a seguir à outra e sem reposição (com reposição).

a) Enumere os acontecimentos elementares do espaço de resultados associado à experiência.

b) Defina no espaço de resultados os acontecimentos adiante indicados:

A1 - "saída de uma lâmpada defeituosa na 1ª tiragem";

A2 - "saída de uma lâmpada defeituosa na 2ª tiragem";

A3 - "saída de duas lâmpadas defeituosas";

A4 - "saída de pelo menos uma lâmpada defeituosa";

A5 - "saída de exactamente uma lâmpada defeituosa";

A6 - "saída de uma soma de números inscritos nas lâmpadas inferior a sete".

2. Duas lâmpadas vão ser submetidas a um teste, que consiste em mantê-las ligadas até que ambas falhem. Sabe-se que nenhuma das lâmpadas dura mais de 1600 horas.

Represente o espaço de resultados e os seguintes acontecimentos:

A - Realiza-se quando nenhuma das lâmpadas tem duração superior a 1 000 horas;

B - Realiza-se quando só uma das lâmpadas tem duração superior a 1 000 horas;

C - Realiza-se quando uma das lâmpadas dura, pelo menos, o dobro da outra;

D - Realiza-se quando a soma das durações das duas lâmpadas é inferior a 2 000 horas.

3. Sejam A, B e C três acontecimentos. Em função de A, B e C, exprima o acontecimento que se realiza quando:

a) apenas A se realiza.

b) A e C se realizam, mas B não.

c) pelo menos, um dos três se realiza.

d) pelo menos, dois deles se realizam.

e) se realizam os três.

f) nenhum deles se realiza.

g) quando muito, realiza-se um deles.

h) no máximo, realizam-se dois deles.

i) realizam-se exactamente dois deles.

j) no máximo, realizam-se os três.

4. Sejam A1 e A2 dois acontecimentos, tais que:

A1 se realiza quando um automobilista escolhido ao acaso numa bomba verifica o ar dos pneus;

A2 se realiza quando um automobilista escolhido ao acaso numa bomba verifica o óleo do motor.

a) Exprima em função deles os seguintes acontecimentos:

A - realiza-se quando o automobilista não verifica o ar dos pneus;

B - realiza-se quando o automobilista verifica o ar dos pneus ou o óleo do motor;

C - realiza-se quando o automobilista não verifica o ar dos pneus nem o óleo do motor;

D - realiza-se quando o automobilista não verifica o ar dos pneus, ou verifica o óleo do motor;

E - realiza-se quando o automobilista verifica o ar dos pneus e não verifica o óleo do motor;

F - realiza-se quando o automobilista verifica o óleo do motor e não verifica o ar dos pneus;

G - realiza-se quando o automobilista verifica um e um só dos equipamentos.

b) Os acontecimentos E e F são ou não incompatíveis?

c) Exprima G em função de E e F.

d) A realização de A implica a realização de F, ou o contrário?

5. Numa cidade são publicados três semanários, S1, S2 e S3. Sabe-se que:

22% dos habitantes lêem S1;

15% dos habitantes lêem S2;

13% dos habitantes lêem S3;

8% dos habitantes lêem S1 e S2;

5% dos habitantes lêem S1 e S3;

4% dos habitantes lêem S2 e S3;

2% dos habitantes lêem os três semanários.

Calcule a probabilidade de um habitante da cidade, escolhido ao acaso:

a) Ler pelo menos um semanário.

b) Ler um e um só semanário.

c) Não ler nenhum dos semanários.

6. Os trabalhadores de uma empresa utilizam diversos meios de transporte, na sua deslocação de casa para o emprego: 57% utilizam o autocarro; 45% o metropolitano; 32% o comboio; 15% o autocarro e o metropolitano; 17% o autocarro e o comboio; 15% o comboio e o metropolitano; 5% utilizam os três meios de transporte.

a) Qual a percentagem de trabalhadores que não utilizam nenhum daqueles meios de transporte?

b) Qual a percentagem de trabalhadores que utilizam pelo menos dois daqueles meios de transporte?

7. Fazem-se 3 lançamentos de um dado equilibrado. O acontecimento A1 realiza-se quando o resultado do primeiro lançamento é 1 ou 2; o acontecimento A2 realiza-se quando o resultado do segundo lançamento é 3 ou 4; o acontecimento A3 realiza-se quando o resultado do terceiro lançamento é 5 ou 6.

a) Calcule PA1 A2 A3.

b) Mostre que PA1 A2 A3 = 1-(1-1/3)3.

8. Para cada n inteiro positivo, seja Considere os acontecimentos

.

Calcule , , , , e .

9. Escolhendo um ponto ao acaso, divida-se um segmento em dois. Qual a probabilidade de que o maior dos segmentos resultantes tenha, pelo menos, o dobro do comprimento do outro?

10. Sejam A e B dois acontecimentos definidos num mesmo espaço de resultados. Mostre que:

.

11. Um semicírculo tem como base o intervalo ]-r, r[. Escolhendo um ponto ao acaso neste intervalo, qual a probabilidade do segmento perpendicular ao intervalo, com extremos nesse ponto e no semicírculo, ter comprimento inferior a r/2?

12. Para qualquer sucessão de acontecimentos A1, A2,..., An, defina uma nova sucessão, B1, B2,..., Bn, de acontecimentos mutuamente exclusivos, tais que .

13. Numa turma com 30 alunos, 20 são rapazes. Pretende-se escolher quatro alunos para formar uma comissão representativa da turma.

a) Qual a probabilidade de que na comissão haja dois rapazes e duas raparigas?

b) Qual a probabilidade de o 3º aluno escolhido ser rapaz?

14. Num teste de respostas múltiplas (4 alternativas), com vinte questões, escreva uma expressão para a probabilidade de uma pessoa obter classificação igual ou superior a 7 valores, se responder ao acaso e as perguntas forem cotadas igualmente em 1 valor?

15. Da produção diária de uma máquina retiram-se, sucessivamente, ao acaso e com reposição, 10 dos artigos produzidos, para efeitos de controlo de qualidade. Sabe-se que 80% dos artigos produzidos pela máquina não apresentam defeito. Qual a probabilidade de haver menos de 3 artigos defeituosos, nos 10 artigos controlados?

16. Numa fábrica são utilizadas três máquinas para a produção de um mesmo produto, nas seguintes percentagens: Máquina 1: 40%; Máquina 2: 35%; Máquina 3: 25%. As percentagens de artigos defeituosos produzidos por cada máquina são, respectivamente, 4%, 2% e 1%.

Em certo momento retirou-se um artigo da produção total.

a) Qual a probabilidade de ser não defeituoso?

b) Observando-se que é defeituoso, qual a probabilidade de ter sido produzido pela Máquina 1?

17. Os trabalhadores de uma dada empresa foram classificados em três níveis: com formação mínima, com formação média e com formação superior. Sabe-se que 55% desses trabalhadores têm salário superior a 1000 Euros. Sabe-se também que:

 40% dos trabalhadores com formação média têm salário superior a 1 000 Euros;

 70% dos trabalhadores com formação superior têm salário superior a 1 000 Euros;

 Nenhum dos trabalhadores com formação mínima tem salário superior a 1 000 Euros;

 10% dos trabalhadores têm formação mínima.

a) Calcule a probabilidade de um trabalhador, escolhido ao acaso nessa empresa, ter formação média.

b) Calcule a probabilidade de ter formação superior, sabendo que ganha mais de 1000 Euros.

18. Determinado teste é usado no diagnóstico de uma deficiência, mas o resultado nem sempre é correcto: aplicado a uma pessoa doente, dá resultado positivo em 98% dos casos; aplicado a uma pessoa saudável, dá resultado positivo em 10% das vezes.

a) Qual a probabilidade de uma pessoa doente ter um resultado negativo?

b) Qual a percentagem de testes positivos se, no conjunto das pessoas que o fazem, 10% estiverem efectivamente doentes?

19. Para se destruírem os produtos deteriorados, analisa-se periodicamente certa produção. No processo, que não é infalível, 10% dos artigos não deteriorados são destruídos e 5% dos produtos deteriorados não são destruídos, destruindo-se na totalidade 27% da produção.

a) Qual a percentagem de artigos deteriorados e destruídos?

b) Qual a percentagem da produção em boas condições?

c) Qual a percentagem de artigos deteriorados e não destruídos?

20. Numa fábrica trabalham 30 mulheres e 50 homens. A distribuição dos trabalhadores por classes de idades é a seguinte:

H M

até 21 anos 5 3

de 21 a 50 anos 30 18

mais de 50 anos 15 9

Escolhe-se uma pessoa ao acaso.

a) Qual a probabilidade de a pessoa escolhida ser homem, sabendo-se que tem mais de 50 anos?

b) Os acontecimentos A: ”a pessoa escolhida é homem” e B: ”a pessoa escolhida tem mais de 50 anos” são independentes? Justifique.

21. Em certa unidade industrial constatou-se que o não cumprimento dos planos de produção ficava a dever-se à ocorrência de avarias no equipamento, entre outras causas. Assim, verificou-se que:

 Em 80% dos meses não se registou qualquer avaria e, apesar disso, não foi possível cumprir o plano de produção em 10% das vezes;

 Só em 70% dos meses em que se verificou uma avaria foi possível cumprir o plano estabelecido.

 Em 5% dos meses ocorreram duas ou mais avarias, e apenas em 40% das vezes se cumpriu o plano;

a) Qual a percentagem de meses em que há avarias e se cumpre o plano de produção?

b) Nos meses em que se cumpre o plano de produção, qual a probabilidade de ocorrer uma avaria?

c) Calcule a probabilidade de num trimestre haver um mês em que o plano de produção não seja cumprido.

22. A produção de uma fábrica de cimento é ensacada por três máquinas, de acordo com as seguintes percentagens: M1 – 50%; M2 – 25%; M3 – 25%. Cada saco é vendido como contendo 50 kg, mas o peso real pode não coincidir com o referido na embalagem, em consequência do estado de desafinação das máquinas.

Da experiência passada sabe-se que as percentagens de sacos cujo desvio entre o peso real e o peso indicado é superior a 2 kg são, respectivamente, as seguintes: M1 – 5%; M2 – 6%; M3 – 4%.

Em dado momento pesou-se um saco e verificou-se ter menos de 48 kg de cimento. Qual a probabilidade de ter sido ensacado pela máquina M1?

23. Certa empresa utiliza três meios de transporte nas deslocações dos seus empregados de Lisboa ao Porto: automóvel, comboio e avião. Verificou-se que 50% das deslocações são feitas por automóvel e 20% por avião. Relativamente às deslocações por comboio, sabe-se que as efectuadas na segunda-feira são em número igual às de terça-feira e as efectuadas na quarta-feira são em número igual às de quinta-feira e metade das realizadas na segunda-feira. À sexta-feira não se efectuam deslocações por comboio. Quanto às deslocações por avião, constatou-se que se realizaram apenas à quinta-feira e à sexta-feira, em igual número. As deslocações por automóvel distribuíram-se igualmente pelos cinco dias.

a) Determine a percentagem de viagens realizadas à quinta-feira.

b) Das viagens realizadas à quinta-feira, calcule a percentagem delas em que foi utilizado o automóvel.

24. Num estudo sobre “novos hábitos” dos alunos observa-se que 10% acham normal tomar o pequeno-almoço na aula, enquanto outros 30% pensam que é a aula a melhor altura para se pôr a conversa em dia. Por outro lado, 90% destes últimos nunca têm dúvidas sobre a matéria leccionada, enquanto 30% dos que tomam o pequeno-almoço na aula e 30% dos que ainda conservam alguns resquícios de civilidade apresentam ocasionalmente dúvidas.

a) Foi posta uma dúvida sobre a matéria. Calcule a probabilidade de o aluno estar a tomar o pequeno-almoço.

b) Pode afirmar-se que mais de 80% dos alunos não apresentam dúvidas na aula?

25. No turno da tarde existem apenas três turmas em determinada disciplina: a Turma A, com 25 alunos (10 rapazes); a turma B, com 20 alunos (15 rapazes); a turma C, com 26 alunos (13 rapazes).

a) Um dos alunos em questão é seleccionado ao acaso. Sendo rapaz, qual a probabilidade de pertencer à turma C?

b) Formou-se uma comissão com dois alunos. Sabendo que foram sorteados um rapaz e uma rapariga da mesma turma, calcule as probabilidades de serem de cada uma das três turmas.

26. A gestão das carteiras de acções numa dada praça financeira é feita unicamente por três corretoras, C1, C2 e C3. A primeira detém dois terços do mercado e as outras duas têm quotas iguais. Dos resultados de anos passados sabe-se que as probabilidades das corretoras conseguirem uma valorização anual das carteiras dos seus clientes superior a 10% são, respectivamente, 0.75, 0.45 e 0.40.

Sabe-se que a carteira de certo indivíduo registou uma valorização superior a 10%. Qual a probabilidade de ser um cliente de C1?

27. Na produção de certo tipo de peças constata-se que 3% são defeituosas. O controlo de qualidade instalado permite detectar 95% das peças defeituosas, embora também classifique como tal 4% das peças sem defeito.

a) Qual a percentagem de peças rejeitadas no controlo de qualidade?

b) “A maior parte das peças rejeitadas não têm defeito.” Comente.

28. Um estudo sobre tabagismo numa grande multinacional conduziu aos seguintes resultados: um quarto dos trabalhadores com menos de 30 anos são fumadores, tal como metade dos trabalhadores entre 30 e 50 anos e metade dos trabalhadores com 50 ou mais anos. Os trabalhadores com menos de 30 anos constituem 50% do pessoal da empresa.

a) Escolhido um trabalhador ao acaso, qual a probabilidade de ser fumador?

b) Qual a probabilidade de um trabalhador escolhido ao acaso ter idade inferior a 30 anos, sabendo-se que é fumador? Face a este resultado, que pode dizer sobre a relação entre a idade e o consumo de tabaco na população estudada?

29. Os clientes da “Cybersmart” na região de Lisboa são servidos por três centrais: alfa1, alfa2 e alfa3. Constata-se que alfa2 e alfa3 servem o mesmo número de clientes, enquanto alfa1 serve o dobro daquelas. Por outro lado, tomou-se conhecimento de que 2% das ligações de alfa1 e 4% das ligações de alfa2 registaram falhas, enquanto que 94% das ligações de alfa3 não registaram qualquer problema. A empresa garante aos clientes que as suas ligações têm uma fiabilidade de 95%.

a) Concorda com a taxa de fiabilidade apresentada pela empresa?

b) Um cliente acaba de informar a empresa que a sua ligação falhou. Qual a central que, com maior probabilidade, estaria a utilizar?

30. Numa experiência de aprendizagem um indivíduo realiza duas vezes seguidas uma determinada tarefa, podendo falhar ou ser bem sucedido em cada uma delas. A probabilidade de falhar a primeira tentativa é de 0.25. Se falhar a primeira, a probabilidade de ser bem sucedido na segunda é de 0.5. Se for bem sucedido na primeira, a probabilidade de falhar na segunda é de 0.1.

Qual a probabilidade de falhar a segunda tentativa?

31. No trajecto de um avião de guerra há duas estações de radar inimigas equipadas com baterias antiaéreas, que só são accionadas se o avião for detectado. O avião tem uma probabilidade de 0.25 de ser detectado pela primeira estação e, sendo detectado, tem três hipóteses em cinco de não ser abatido por essa estação. Se o avião não é detectado pela primeira estação, aproxima-se da segunda nas mesmas condições em que da primeira. Por outro lado, se a primeira estação o detecta sem o abater, será certamente detectado e abatido pela segunda estação.

a) Qual a probabilidade de o avião não ser abatido pela primeira estação?

b) Qual a probabilidade de o avião não ser abatido?

c) O avião foi abatido. Qual a probabilidade de ter sido a primeira estação a abatê-lo?

32. Considere dois acontecimentos, A e B. Mostre que, se , então A e B são independentes.

33. Numa turma com 30 alunos (20 raparigas e 10 rapazes), 5% dos rapazes e 6% das raparigas têm classificações superiores a 14 valores.

a) Selecciona-se um aluno ao acaso e verifica-se que tem classificação superior a 14. Qual a probabilidade de ser rapaz?

b) Considere os acontecimentos "ser aluno com classificação superior a 14" e "ser rapaz". Qual a probabilidade da realização simultânea daqueles dois acontecimentos, se forem agora considerados independentes.

34. Seja um espaço de probabilidades e considerem-se , com . Se B e C são independentes, demonstre que,

P(A*B) = P(A*B * C)P(C) + P(A *B * )P( ) .

Capítulo 2

35. Uma caixa contém 5 bolas pretas, 3 azuis e 7 vermelhas. Considere a experiência aleatória que consiste em retirar 2 bolas da caixa, ao acaso, sucessivamente e sem reposição. Sabendo que está estabelecida a pontuação: bola preta, 1 ponto; bola azul, 2 pontos; bola vermelha, 3 pontos, caracterize uma variável aleatória X que represente a pontuação obtida.

a) Qual o acontecimento que é a imagem inversa de [3,5)?

b) Determine a função de distribuição de X.

c) Calcule P(X > 3*X < 6).

36. O número de automóveis encomendados mensalmente num stand é uma v.a. com a seguinte função de probabilidade:

x: 0 1 2 3 4

:

0.3 0.3 0.2 0.1 0.1

a) Escreva a função de distribuição de .

b) Quantos automóveis deve o stand ter num mês, para que a probabilidade de satisfazer todas as encomendas não seja inferior a 0.75?

c) Num mês em que há três automóveis em stock no stand, qual a distribuição da variável aleatória que representa a diferença, em valor absoluto, entre a procura e o stock?

37. Numa loja da especialidade a procura diária de rádios para automóvel é uma variável aleatória, X, com função de probabilidade:

x: 0 1 2 3 4

:

0.2 p1 p2 0.2 0.1

Sabe-se ainda que são procurados 2 rádios, em metade dos dias em que a procura é superior a 1.

a) Calcule p1 e p2, justificando.

b) No início de certo dia existem apenas 2 rádios do modelo referido. Calcule a probabilidade de serem vendidos (admita que a procura coincide com a venda sempre que existe o produto procurado).

c) Em relação à alínea b) obtenha a distribuição da variável “número de rádios vendidos”.

38. Um teste é composto por 20 questões, cada uma das quais com 4 respostas alternativas (apenas uma delas é correcta). Cada resposta certa vale 1 valor.

a) Respondendo ao acaso às questões, encontre a distribuição da variável aleatória que representa a classificação obtida no teste e calcule a probabilidade de aprovação (classificação igual ou superior a 10 valores).

b) “Se cada questão tivesse apenas duas alternativas, continuando os alunos a responder completamente ao acaso, então seriam aprovados quase 60%”. Comente.

39. Seja X uma v.a. com a seguinte função de densidade de probabilidade:

a) Obtenha a função de distribuição de X.

b) Determine a densidade de Y = 8 - 2X.

c) Supondo que X representa a procura mensal (em toneladas) de certo artigo, determine o stock mínimo a constituir no início de cada mês, de modo que a probabilidade de ruptura seja igual a 5%.

40. Seja X uma variável aleatória com a seguinte função de densidade de probabilidade:

a) Calcule a função de distribuição.

b) Calcule a função de densidade das variáveis aleatórias:

.

c) Calcule a função de distribuição da variável aleatória seguinte e classifique-a:

.

41. Admita que o tempo de permanência dos alunos numa aula de 2 horas é uma variável aleatória com função de densidade de probabilidade .

a) Qual a probabilidade de um aluno, escolhido ao acaso, assistir a mais de 75% da aula?

b) De 10 alunos, escolhidos ao acaso no conjunto dos que estão presentes no início da aula, qual a probabilidade de apenas 1 permanecer na sala quando faltarem 15 m para a aula terminar?

42. Seja X uma variável aleatória com f.d.p.

a) Mostre que k = 1.5.

b) Sabendo que X é positiva, e utilizando a função de distribuição, calcule a probabilidade de ser X maior que 0.5.

c) Obtenha a função de distribuição da variável aleatória Y que concentra os valores negativos de X no ponto 0 e mantém sem alteração os positivos.

d) Se , verifique que a respectiva f.d.p. é .

43. Um cliente de uma livraria que deseje comprar livros estrangeiros inexistentes em stock faz a respectiva encomenda ao balcão. O número de encomendas semanais feitas nestas condições, para livros em Inglês e Francês, é um vector aleatório (X,Y) com a seguinte distribuição conjunta:

Y\X 0 1 2 3

0 .01 .02 .04 .03

1 .05 .10 .20 .15

2 .04 .08 .16 .12

a) Qual a probabilidade de numa semana serem encomendados, no máximo, 2 livros em Inglês e 1 livro em Francês?

b) Qual a percentagem de semanas em que existe igual número de pedidos de livros em Inglês e em Francês?

c) Determine as distribuições marginais e diga qual o seu significado.

d) Qual a distribuição da variável aleatória “número de livros encomendados nas duas línguas”?

44. Uma máquina produz determinado tipo de componentes electrónicos. Esses componentes podem ter um, e um só, de dois tipos de defeitos (A ou B), com probabilidades 0.07 e 0.03, respectivamente. Considere a experiência aleatória que consiste em retirar ao acaso, e com reposição, dois componentes da produção da máquina. Considere as seguintes variáveis aleatórias:

X: v.a. que representa o número de defeitos do tipo A encontrados nos dois componentes;

Y: v.a. que representa o número de defeitos do tipo B encontrados nos dois componentes.

a) Construa a função de probabilidade conjunta de .

b) Determine as distribuições marginais e analise a independência das variáveis.

c) Calcule a probabilidade de se encontrar no conjunto dos dois componentes um defeito do tipo B, sabendo que nenhum dos componentes apresenta defeito do tipo A.

d) Encontre a distribuição do número total de defeitos encontrados nos dois componentes.

45. Considere uma caixa com 10 bolas, 5 das quais são pretas. Uma experiência aleatória consiste em lançar um dado perfeito e extrair da caixa, sem reposição, um número de bolas igual à pontuação obtida no lançamento do dado. Qual a probabilidade de todas as bolas extraídas serem pretas?

46. Sabe-se que a intensidade sonora do ruído ambiente em duas ruas, A e B, é um vector aleatório (X,Y), cujo comportamento pode ser descrito pela densidade conjunta

a) Calcule k.

b) Investigue a independência das variáveis.

47. Uma empresa dedica-se ao comércio de diversos artigos, cujas vendas têm comportamentos aleatórios. As vendas mensais do artigo A e do artigo B, expressas em dada unidade monetária, constituem o vector aleatório , cuja f.d.p. conjunta é

.

a) Determine a constante k. Estude a independência entre as variáveis.

b) Determine a percentagem de meses em que as vendas totais dos artigos A e B são superiores a 1 unidade monetária.

c) Determine a percentagem de meses em que tanto as vendas do artigo A como as do artigo B são superiores a 1 unidade monetária.

d) Determine a percentagem de meses em que as vendas do artigo A são superiores a 1 unidade monetária.

e) Determine a f.d.p. das vendas do artigo B condicionadas pelas vendas do artigo A.

f) Determine a f.d.p. das vendas do artigo A condicionadas pelas vendas do artigo B e calcule .

48. Considere duas variáveis aleatórias com a seguinte f.d.p. conjunta:

.

a) Determine a constante k.

b) Calcule as funções de densidade marginais e discuta a independência das v.a.

c) Calcule

d) Determine as distribuições condicionadas.

49. Considere que o rendimento mensal (em milhares de Euros) dos casais sem filhos, que vivem em determinada região, é uma v.a. bidimensional , sendo X o rendimento da mulher e Y o rendimento do marido. Considere ainda a função .

a) Encontre a relação existente entre a e b que faz da função acima uma f.d.p. conjunta.

b) Admita que a = 8 e b = 4. Encontre a distribuição do rendimento mensal do marido.

c) Determine a probabilidade do rendimento mensal de um casal ultrapassar os 5 000 Euros.

50. Seja uma v.a. bidimensional, em que X representa a quantidade semanal (tons.) vendida do produto A e Y representa a quantidade semanal (tons.) vendida do produto B. A f.d.p. conjunta é .

a) Calcule a percentagem de semanas em que as vendas do produto A são superiores às vendas do produto B.

b) Obtenha a função de densidade das vendas do produto A, condicionadas pelas vendas do produto B. Que pode concluir sobre a independência entre as duas variáveis?

51. Sendo (X1,X2) um par aleatório, tal que f(x1,x2) = 1, (x1,x2)  [0,1]2, determine a f.d.p da v.a. Y1= X1X2.

52. Uma pessoa toma diariamente um comboio que parte entre as 7:25 e as 7:30. A v.a. que representa o período de tempo (em minutos) que decorre entre as 7:25 e o momento da partida tem f.d.p.

.

A hora de chegada da pessoa à estação é também aleatória, entre as 7:25 e as 7:30, e não há razões para se supor que certos momentos tenham maior densidade de probabilidade do que os outros.

Admitindo independência entre as duas v.a., determine:

a) a f.d.p e a f.d. conjuntas das duas v.a..

b) a probabilidade de a pessoa apanhar o comboio, usando a distribuição conjunta.

c) a probabilidade de a pessoa apanhar o comboio, fazendo a conveniente mudança de variáveis.

d) a probabilidade de a pessoa ter que esperar mais de 2 minutos até à partida do comboio, também por um e outro dos dois processos.

53. Seja X o tempo de espera de um cliente, até ser atendido aos balcões do Banco A, e seja Y o tempo de espera de um cliente, até ser atendido aos balcões do Banco B (o tempo medido em certa unidade). A distribuição conjunta de X e Y é dada por .

Calcule a distribuição de U=X-Y e, a partir dela, estude se se deve acreditar que os clientes do Banco A demoram mais tempo a ser atendidos do que os do Banco B.

54. O vector aleatório (X,Y) tem f.d.p. conjunta .

a) Calcule a função de distribuição conjunta das duas variáveis.

b) Calcule a função de densidade de probabilidade conjunta de U = X2 e V = Y2.

c) Calcule a f.d.p. da média aritmética entre X e Y.