Aula 2 matemática discreta

Aula 2:  Análise Combinatória II Nome: Hélio Mendes Lima

E65- Quantos colares podemos formar usando quatro contas, todas diferentes?

Resposta: Os colares são como uma circunferência e portanto teremos uma permutação circular. A permutação circular é dado por P(n-1)! onde n é o números de peças diferentes nesse caso.   P(4-1)!=3!=6

E 49- Formados e dispostos em ordem crescente os números que obtém permutando-se os algarismos 2,3,4,8,9, que lugar ocupa o numero 43892?

Resposta. 2,3,4,8,9, que lugar ocupa o numero 43892?Começando por 2 e 3 ----> 2*4! = 48 Começando por 42 -----> 3! = 6 Começando por 432 ----> 2! = 2 Começando por 438 -----> 2! = 2    48 + 6 + 2 + 2 = 58 -----> 58º lugar

E 91-  De quantas maneiras podemos escolher 4 cartas de um baralho de 52 cartas, de modo que em cada escolha haja pelo menos um rei?

Resposta. C52,4 - C48,4

C52,4=  52!/48!4! => 52.51.50.49.48!/48!. 24 => C52,4= 6497400/ 24 = 270725

C48,4 = 48!/4!.44! => 48.47.46.45.44!/44!.24 => C48,4 = 4669920/24 = 194580.

Então: C52,4 - C48,4

270725 - 194580= 76145.

E 95. Um grupo consta de 20 pessoas, das quais 5 matemáticos. De quantas formas podemos formar comissões de 10 pessoas de modo que:

1. Nenhum membro seja matemático.                          Resposta: C15,10= 15!/10!5! = 15.14.13.12.11.10!/10!.120 = 360360/120 = 3003.

2. Todos os matemáticos participem da comissão.

Resposta. C5,5*C15,5

1* 15!/10!5! = 1*15.14.13.12.11.10/10!.120 = 360360/120= 3003.

3. Haja exatamente um matemático na comissão .

Resposta.                                                      C5,1*C15,9.                                               C5,1= 5!/1!4! =5.                                    C15,9 = 15!/9!6! = 15.14.13.12.11.10.9!/9!.720 = 3603600/720= 5005.                           C5,1*C15,9 = 5*5005 = 25025.              4. Pelo menos um membro da comissão seja matemático.  Resposta.                                                    C20,10 - C 15,5                                          C20,10 = 20!/ 10!.10! = 184756        C 15,5 =15.14.13.12.11.10/10!.120 = 360360/120= 3003.                             C20,10 - C 15,5 = 184756-3003= 181753

E133- Um homem encontra-se na origem de um sistema cartesiano ortogonal. Ele só pode dar um passo de cada vez, para o norte (N) ou para o leste (L). Partindo da origem e passando pelo ponto A(3,1) quantas trajetórias existem até o ponto B(5,4)?                               Resposta. Seja L o número de passos para o leste e N o número de passos para o norte. Para ir da origem ao ponto (3, 1) deverá efetuar os deslocamentos LLLN, não necessariamente nesta ordem. Para ir de (3, 1) a (5, 4) deverá efetuar os deslocamentos LLNNN, também, não necessariamente nesta ordem.   Para o deslocamento da origem até (3,1) são possíveis P43 = 4!/3! = 4 tipos de caminhos.  Para o deslocamento de (3, 1) a (5, 4) são possíveis P53,2 = 5!/3!.2! = 5.4/2 = 10.  Como deve ir da origem a (3,1) e de (3,1) a (5, 4) são possíveis 4 x 10 = 40 trajetos.  

E 134-  com os dígitos 1 2 3 4 5 6 7 de quantas formulas podemos permuta-los de modo que os dígitos impares apareçam sempre em ordem crescente?

Resposta. A7,3= 7!/4! = 7.6.5.4!/4! =210.

E 138-  De quantos modos 8 pessoas podem ocupar duas salas distintas, devendo cada sala conter pelo menos 3 pessoas?         Resposta.

C8,3*C5,5 + C8,4*C4,4 + C8,5*C3,3 = 56 + 70 + 56 = 182

E 149- Uma confeitaria vende 5 tipos de doces. Uma pessoa, deseja comprar 3 doces. De quantas formas isto pode ser feito?    Resposta. Sejam a, b,c ,d ,e, os cinco tipos de doces, o problema equivale a calcular o número de soluções inteiras não-negativas da equação: a+b+c+d+e = 3 que pode ser obtido por permutação com repetição ou pela fórmula de combinações completas: CR(n,p) = C(n+p-1,p) => CR(5,3) = C(7,3) = 7!/(4!3!) = 35