Paradigmas de Linguagens

Capítulo 1 – Espaços Vetoriais

1) Espaço vetorial real: Seja um conjunto V, não vazio, sobre o qual estão definidas as operações de adição e multiplicação por escalar, isto é:

[pic 1]

[pic 2]

O conjunto V com estas duas operações é chamado de espaço vetorial real se forem verificados os seguintes axiomas para , , [pic 3][pic 4][pic 5]

a)  [pic 6]

b) [pic 7]

c) [pic 8]

d) [pic 9]

e) [pic 10]

f) [pic 11]

g) [pic 12]

h)[pic 13]

Observações:

• Os elementos , ..., de um espaço vetorial V são denominados vetores.[pic 14]
• A definição de espaço vetorial serve para conjuntos diversos, tais como , o conjunto das matrizes M(m,n), etc.[pic 15]

Exemplos:

O conjunto V = = {(x,y) / x,y } é um espaço vetorial pois:[pic 16][pic 17]

[pic 18]

[pic 19]

Observações:

• O par ordenado (x,y) representa um ponto ou um vetor no e uma terna ordenada (x,y,z) representa um ponto ou vetor no . Assim, (x, y, z, .... n) é um ponto ou um vetor no .[pic 20][pic 21][pic 22]
• O conjunto , em relação a adição e à multiplicação por escalar, é um espaço vetorial.[pic 23]
• O conjunto de matrizes M(m,n) com as operações de adição e multiplicação por escalar, é um espaço vetorial. Em particular, o conjunto de matrizes quadradas Mn é um espaço vetorial.

2) Propriedades do espaço vetorial:

a) Existe um único vetor nulo em V.

b) Cada vetor  admite apenas um simétrico .[pic 24][pic 25]

c) , se , então .[pic 26][pic 27][pic 28]

d)  , tem-se , isto é, o oposto de  é [pic 29][pic 30][pic 31][pic 32][pic 33]

e)  existe um e somente um x, tal que [pic 34][pic 35]

f)  , . (o primeiro 0 é o número real zero e o segundo é o vetor zero).[pic 36][pic 37][pic 38]

g) , .[pic 39][pic 40]

h)  implica em ou .[pic 41][pic 42][pic 43]

i)  , [pic 44][pic 45][pic 46]

j)  , [pic 47][pic 48][pic 49]

3) Subespaços vetoriais: Sejam V um espaço vetorial e S um subconjunto não vazio de V. O subconjunto S é um subespaço vetorial de V se S é um espaço vetorial em relação à adição e à multiplicação por escalar definidas em V.

Para tal é necessário que se satisfaçam as seguintes condições:

a) ,  .[pic 50][pic 51]

b) .[pic 52]

Observações:

• Todo espaço vetorial V {0} admite, pelo menos, dois subespaços: o conjunto [0], chamado de subespaço zero ou subespaço nulo e o próprio espaço vetorial V. Esses dois são os subespaços triviais de V. Os demais são chamados de subespaços próprios de V.[pic 53]
• Os subespaços triviais de  são {(0,0)} e , enquanto os subespaços próprios são as retas que passam pela origem do sistema de referência.[pic 54][pic 55]

Exemplo 1:

Sejam V =  e S =  então temos S =  isto é, S é o conjunto dos vetores do plano que possuem a segunda componente igual ao dobro da primeira.[pic 56][pic 57][pic 58]

Se S é subespaço de vetorial de V, S deve satisfazer as duas condições:

a) Sendo temos:[pic 59]

, pois a segunda componente de  é igual ao dobro da primeira.[pic 60][pic 61]

b) , pois a segunda componente de  é igual ao dobro da primeira.[pic 62][pic 63]

Portanto, S é um subespaço vetorial de V. Esse subespaço é representado geograficamente por uma reta que passa pela origem do sistema de referência.

[pic 64]

Observações:

• Ao escolher dois vetores  da reta y = 2x, o vetor  pertence à reta e, ao se multiplicar um vetor  da reta por , o vetor  também estará na reta.[pic 65][pic 66][pic 67][pic 68][pic 69]
• Se a reta dada S não passar pela origem, S não é um subespaço vetorial de .[pic 70]

Se a reta S =  ou S = , se os vetores  = (1,2) e  = (2,0) de S, verifica-se que  = (3,2) não pertence a S.[pic 71][pic 72][pic 73][pic 74][pic 75]