A definição de conjunto é a seguinte

Teoria dos Conjuntos

A definição de conjunto é a seguinte:

Um conjunto é uma coleção de uma quantidade inteira (zero ou mais) objetos distintos. Cada um desses objetos e denominado um elemento do conjunto.

Não existe uma definição formal do que realmente é um elemento, dependendo de cada conjunto.

Observação: Na maioria dos casos, um conjunto é indicado por uma letra maiúscula.

Relações entre Conjuntos e Elementos

Dado um ou mais conjuntos e os elementos que os integram, existem algumas relações possíveis entre eles:

• Pertencer a um conjunto: se um dado elemento a pertence a um conjunto A, isto é indicado por a ∈ A. Caso contrário, indica-se por a ∉ A (Lê-se, respectivamente como “o elemento a pertence ao conjunto A e “o elemento a não pertence ao conjunto A”).

• Subconjunto: se todos os elemento de um dado conjunto A também pertencem a um dado conjunto B, é dito que o conjunto A está contido no conjunto B ou que A é subconjunto de B. Isto é denotado por A ⊆ B ou B ⊇ A (lê-se, respectivamente, “A está contido em B” e “B contém A”). Além disso, se o conjunto B, que contém o conjunto A, possui um ou mais elementos que não pertencem ao conjunto A, é dito que o conjunto A é um subconjunto próprio de B. Isto é indicado por A ⊂ B ou B ⊃ A ( lê-se “A está contido propriamente em B” e “B contém propriamente A”).

• Igualdade de Conjuntos: dois conjuntos A e B são ditos iguais se e somente se possuem exatamente os mesmo elementos, ou seja A ⊆ B e B ⊆ A. Neste caso pode-se dizer que A = B.

Exemplos:

a ∈ { b, a }

c ∉ { b, a }

{ a, b } = { b, a }

{ a, b } ⊆ { b, a }

{ a, b } ⊂ { a, b, c }

Notação de Conjuntos

Caso um conjunto possua um número finito de elementos, ele pode ser denotado por extensão, isto é, pela indicação de todos os elementos do conjunto. Exemplos:

A = {a, b, c, d}        B = {2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19}

Um conjunto que não possua nenhum elemento é chamado de conjunto vazio, e é indicado por  {  }  ou   φ.

Conjuntos cujo número de elementos seja infinito (por exemplo, os conjuntos numéricos) podem ser denotados por compreensão (é importante observar que conjuntos com número finito de elementos também podem ser denotados desta forma). A denotação por compreensão se dá na forma:

{a | a ∈ A e p(a)}      ou      {a ∈ A | p(a)}

Isto é interpretado como sendo ”o conjunto de todos os elementos a, pertencentes ao conjunto A, tais  que satisfaçam a condição p(a).”

Quando é claro que a ∈ A, pode-se denotar simplesmente na forma:

{a | p(a)}

Exemplos:

{ 1, 2, 3 } = { x ∈ N | x > 0 e x < 4 }

N = { x ∈ Z | x ≥ 0 }

O conjunto dos números pares pode ser indicado por compreensão da seguinte forma:

{ y | y = 2x e x ∈ N }

A notação por compreensão pode permite definir algo que, de fato, não é um conjunto. Por exemplo:

S = { A | A é um conjunto e A ∉ A}

Isto é interpretado como o conjunto de todos os conjuntos que não são elementos de si mesmos. No entanto, sendo S é um conjunto, tem-se que:

• se S ∈ S, então, por definição, S ∉ S
• se S ∉ S, então, por definição, S ∈ S

Essa contradição é chamada de Paradoxo de Russel, e é evidente que não existe tal conjunto. A partir dele, pode-se concluir que:

Não existe o conjunto de todos os conjuntos e, portanto, nem toda coleção constitui um conjunto.

Conjuntos Numéricos

Os conjuntos numéricos são infinitos. Abaixo segue a descrição dos principais deles:

•  Naturais (N): todos os números inteiros maiores ou iguais a zero

 N = { 0, 1, 2, 3, 4, ...}

• Inteiros (Z): todos os números inteiros, positivos e negativos

Z = { ..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ...}

• Racionais (Q): todos os números inteiros e aqueles que podem ser expressos através do resultado de uma divisão

Q = { ..., -3,5, -2, -1/6, 0, 1, 1,8 , 1,999, ...}

• Irracionais (I): todos os números que não podem ser expressos como resultados de uma divisão (raízes, logaritmos, pi, etc.).

I = {..., -π, -log 2, e, log 5 ...}

• Reais (R): todos os números racionais, mais os irracionais

R = { ..., -π, - 2,25, -1, -log 2, 0, 1, 3/2, e, ...}

É importante observar que:

N ⊂ Z ⊂ Q ⊂ R

Q  ⊂  R  e   I  ⊂  R

Propriedades Operatórias de Conjuntos

Algumas das principais operações envolvendo conjuntos serão apresentadas a seguir:

• União: é o conjunto resultante de outros dois, tal que possui todos os elementos de ambos os conjuntos. Sendo A e B dois conjuntos, têm-se que:

A ∪ B = {x | x ∈ A ou x ∈ B}

• Intersecção: é o conjunto resultante de outros dois, tal que possui todos os elementos que sejam comuns a ambos conjuntos. Sendo A e B dois conjuntos, têm-se que:

A ∩ B = {x | x ∈ A e x ∈ B}

• Diferença:  é o conjunto resultante de outros dois, tal que possui todos os elementos que pertençam ao primeiro conjunto e não pertençam ao segundo. Sendo A e B dois conjuntos, têm-se que:

A - B = {x | x ∈ A e x ∉ B}

• Produto cartesiano: é o conjunto formado por todos os pares (a, b), sendo que a pertence ao primeiro conjunto e b pertence ao segundo conjunto. Sendo A e B dois conjuntos, têm-se que:

A x B = {(a,b) | a ∈ A e b ∈ B}

É importante observar que o par (a, b) é chamado de par ordenado e não deve ser confundido com o conjunto {a, b}, pois no par ordenado a ordem dos elementos é importante.