Resumo Álgebra De Conjuntos Renata De Freitas E Petrucio Viana

Álgebra de Conjuntos

Renata de Freitas e Petrucio Viana

Dados:

Letras maiúsculas:

A,B,C

A1 , B1 , C1

An , Bn , Cn

Símbolos para operações:

∩, ∪, −

- Expressões envolvendo letras e símbolos para operações

- Igualdade e inclusões entre essas operações

Problema:

Identificar igualdades e inclusões que são verdadeiras para quaisquer conjuntos A,B,C

Provas Algébricas:

Escolher um repertorio de igualdades e inclusões que são intuitivamente verdadeiras para quaisquer conjuntos A,B,C

Provar as outras igualdades e inclusões a partir daquelas listadas acima usando propriedades básicas da igualdade e inclusão

Igualdades e inclusões intuitivamente verdadeiras para quaisquer conjuntos A,B,C

Associatividade de ∩ e de ∪:

A ∩ (B ∩ C ) = (A ∩ B) ∩ C

A ∪ (B ∪ C ) = (A ∪ B) ∪ C

Comutatividade de ∩ e de ∪:

A∩B =B ∩A

A∪B =B ∪A

Idempôtencia de ∩ e de ∪:

A∩A=A

A∪A=A

Elemento neutro de ∩ e de ∪:

A∩U =A

A∪∅=A

Elemento zero de ∩ e de ∪:

A∩∅=∅

A∪U =U

Distributividade de ∩ sobre ∪, e de ∪ sobre ∩:

A ∩ (B ∪ C ) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C )

A ∪ (B ∩ C ) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C )

Involutividade de − :

=

A=A

Leis de De Morgan:

____ _ _

A∩B =A∪B

____ _ _

A∪B =A∩B

Leis de absorção

A ∩ (A ∪ B) = A ¬¬

A ∪ (A ∩ B) = A

Definições de ∅ e U:

_

A∩A=∅

_

A∪A=U

Propriedades básicas da igualdade (A, B, C):

Reflexividade:

A = A.

Simetria:

Se A = B, então B = A.

Transitividade:

Se A = B e B = C , então A = C .

Substitutividade: