Paradigmas de Linguagens
Por: Ueslei Barros • 20/5/2016 • Trabalho acadêmico • 906 Palavras (4 Páginas) • 370 Visualizações
Capítulo 1 – Espaços Vetoriais
1) Espaço vetorial real: Seja um conjunto V, não vazio, sobre o qual estão definidas as operações de adição e multiplicação por escalar, isto é:
[pic 1]
[pic 2]
O conjunto V com estas duas operações é chamado de espaço vetorial real se forem verificados os seguintes axiomas para , , [pic 3][pic 4][pic 5]
a) [pic 6]
b) [pic 7]
c) [pic 8]
d) [pic 9]
e) [pic 10]
f) [pic 11]
g) [pic 12]
h)[pic 13]
Observações:
- Os elementos , ..., de um espaço vetorial V são denominados vetores.[pic 14]
- A definição de espaço vetorial serve para conjuntos diversos, tais como , o conjunto das matrizes M(m,n), etc.[pic 15]
Exemplos:
O conjunto V = = {(x,y) / x,y } é um espaço vetorial pois:[pic 16][pic 17]
[pic 18]
[pic 19]
Observações:
- O par ordenado (x,y) representa um ponto ou um vetor no e uma terna ordenada (x,y,z) representa um ponto ou vetor no . Assim, (x, y, z, .... n) é um ponto ou um vetor no .[pic 20][pic 21][pic 22]
- O conjunto , em relação a adição e à multiplicação por escalar, é um espaço vetorial.[pic 23]
- O conjunto de matrizes M(m,n) com as operações de adição e multiplicação por escalar, é um espaço vetorial. Em particular, o conjunto de matrizes quadradas Mn é um espaço vetorial.
2) Propriedades do espaço vetorial:
a) Existe um único vetor nulo em V.
b) Cada vetor admite apenas um simétrico .[pic 24][pic 25]
c) , se , então .[pic 26][pic 27][pic 28]
d) , tem-se , isto é, o oposto de é [pic 29][pic 30][pic 31][pic 32][pic 33]
e) existe um e somente um x, tal que [pic 34][pic 35]
f) , . (o primeiro 0 é o número real zero e o segundo é o vetor zero).[pic 36][pic 37][pic 38]
g) , .[pic 39][pic 40]
h) implica em ou .[pic 41][pic 42][pic 43]
i) , [pic 44][pic 45][pic 46]
j) , [pic 47][pic 48][pic 49]
3) Subespaços vetoriais: Sejam V um espaço vetorial e S um subconjunto não vazio de V. O subconjunto S é um subespaço vetorial de V se S é um espaço vetorial em relação à adição e à multiplicação por escalar definidas em V.
Para tal é necessário que se satisfaçam as seguintes condições:
a) , .[pic 50][pic 51]
b) .[pic 52]
Observações:
- Todo espaço vetorial V {0} admite, pelo menos, dois subespaços: o conjunto [0], chamado de subespaço zero ou subespaço nulo e o próprio espaço vetorial V. Esses dois são os subespaços triviais de V. Os demais são chamados de subespaços próprios de V.[pic 53]
- Os subespaços triviais de são {(0,0)} e , enquanto os subespaços próprios são as retas que passam pela origem do sistema de referência.[pic 54][pic 55]
Exemplo 1:
Sejam V = e S = então temos S = isto é, S é o conjunto dos vetores do plano que possuem a segunda componente igual ao dobro da primeira.[pic 56][pic 57][pic 58]
Se S é subespaço de vetorial de V, S deve satisfazer as duas condições:
a) Sendo temos:[pic 59]
, pois a segunda componente de é igual ao dobro da primeira.[pic 60][pic 61]
b) , pois a segunda componente de é igual ao dobro da primeira.[pic 62][pic 63]
Portanto, S é um subespaço vetorial de V. Esse subespaço é representado geograficamente por uma reta que passa pela origem do sistema de referência.
[pic 64]
Observações:
- Ao escolher dois vetores da reta y = 2x, o vetor pertence à reta e, ao se multiplicar um vetor da reta por , o vetor também estará na reta.[pic 65][pic 66][pic 67][pic 68][pic 69]
- Se a reta dada S não passar pela origem, S não é um subespaço vetorial de .[pic 70]
Se a reta S = ou S = , se os vetores = (1,2) e = (2,0) de S, verifica-se que = (3,2) não pertence a S.[pic 71][pic 72][pic 73][pic 74][pic 75]
...